Question

Se Cn,6=Cn,4 , valor de Cn,8 é um número
A) primo
B) múltiplo de 10
C) múltiplo de 15
D) divisor de 1
e) divisor de 15

Answer 1

$\dfrac{n!}{6!(n-6)!}=\dfrac{n!}{4!(n-4)!}\\ \\ 6!(n-6)!=4!(n-4)!\\ \\ 30(n-6)!=(n-4)(n-5)(n-6)!\\ \\ (n-4)(n-5)=30\\ \\ n^2-9n-10=0\\ \\ (n+1)(n-10)=0\\ \\ \boxed{n=10}$

$\displaystyle \binom{10}{8}=\binom{10}{2}=\frac{10\times 9}{1\times 2} \\ \\ \\ \boxed{\binom{10}{8}= 45}$

Reposta: C

Answer 2

Cn,6 =           n!                n!
               _______ =     _______
               6!.(n - 6)!       4!.(n - 4)!

    n.(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)(n - 6)!        n.(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)!
  ________________________________    =  ______________________
      6 . 5 .4! . ( n - 6)!                                            4! ( n - 4 )!
 
 Eliminando os fatores semelhantes tanto nos numeradores quanto nos denominadores, fica:

    ( n - 4)(n - 5)              1
    ___________  =  ________
          30                      1
 
 n² - 9n + 20 = 30  
 n² - 9n + 20 - 30  
 n² - 9n - 10 = 0
 resolvendo encontramos   n' = - 1  que não convém e  n" = 10
 
 Daí, substituindo 10 em  Cn , 8,  temos:  C10 , 8 :

      10!                 10 . 9 . 8!          10 . 9
 _________      =  ___________  = ______    90/2 = 45
   8! . (10 - 8)!          8! . 2!                2    

 45 é múltiplo de 15 .   Resposta  letra C)