Question

se ab= 1, calcule log de raiz quadrada de a na base b
$log_{b}( \sqrt{a} )$
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Answer 1

Olá,

Para resolver esta questão precisamos relembrar as propriedades/definições a seguir:

$\tt \cdot \: log_{b}(xy) = log_{b}(x) + log_{b}(y)$

$\tt \cdot \: log_{a}(a) = 1$

$\tt \cdot \: log_{b}(1) = 0$

$\tt \cdot \: log_{b}( {x}^{n} ) = n \: log_{b}(x)$

Agora vamos a questão:

$\tt \: ab = 1$

Vamos aplicar logaritmos na base b no produto acima.

$\tt log_{b}(ab) = log_{b}(1)$

Com base nas propriedades vistas acima:

$\tt \: log_{b}(a) + log_{b}(b) = 0 \\ \tt \: log_{b}(a) + 1 = 0 \\ \tt \: log_{b}(a) = - 1$

Queremos determinar

$\tt log_{b}( \sqrt{a} )$

Aplicando as propriedades:

$\tt \: log_{b}( \sqrt{a} ) \\ \tt= log_{b}( {a}^{ \frac{1}{2} } ) \\ \tt \: = \frac{1}{2} \: log_{b}(a) \\ \tt \: = \frac{1}{2} ( - 1) \\ \tt = - \frac{1}{2}$

Desta forma:

$\boxed{ \tt \: log_{b}( \sqrt{a} ) = - \frac{1}{2} }$