Question

Se a², b² e c² são os termos de uma PA, mostre que os números 1/(b+c), 1/(a+c) e 1/(a+b) também formam uma PA.

Answer 1

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Se  a²,  b²  e  c²  são termos de uma progressão aritmética, então as diferenças entre termos consecutivos é constante e igual à razão da P.A.:
 
     $\mathsf{2^o~termo-1^o~termo=3^o~termo-2^o~termo}\\\\ \mathsf{b^2-a^2=c^2-b^2}$


Fatorando as diferenças entre quadrados, podemos expressá-las como produtos de uma soma por uma diferença:
  
     $\mathsf{(b+a)(b-a)=(c+b)(c-b)}\\\\ \mathsf{(a+b)(b-a)=(b+c)(c-b)}$


Para que possamos provar o que foi pedido, devemos assumir mais estas hipóteses:
 
     •   $\mathsf{a+b\ne 0,~~a+c\ne 0~~e~~b+c\ne 0.}$


Sendo assim,  podemos multiplicar os dois lados da igualdade por  $\mathsf{\dfrac{1}{(a+b)(a+c)(b+c)}\,,}$  obtendo

     $\mathsf{\dfrac{(a+b)(b-a)}{(a+b)(a+c)(b+c)}=\dfrac{(b+c)(c-b)}{(a+b)(a+c)(b+c)}}$


Simplificando os fatores comuns que aparecem nos termos das frações,

     $\mathsf{\dfrac{b-a}{(a+c)(b+c)}=\dfrac{c-b}{(a+b)(a+c)}}$


Some e subtraia

     •   c  ao numerador do lado esquerdo;
 
     •   a  ao numerador do lado direito;


e a igualdade fica

     $\mathsf{\dfrac{b-a+c-c}{(a+c)(b+c)}=\dfrac{a-a+c-b}{(a+b)(a+c)}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{b+c-a-c}{(a+c)(b+c)}=\dfrac{a+c-a-b}{(a+b)(a+c)}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{b+c-(a+c)}{(a+c)(b+c)}=\dfrac{a+c-(a+b)}{(a+b)(a+c)}}$


Separando as frações dos dois lados,

     $\mathsf{\dfrac{b+c}{(a+c)(b+c)}-\dfrac{a+c}{(a+c)(b+c)}=\dfrac{a+c}{(a+b)(a+c)}-\dfrac{a+b}{(a+b)(a+c)}}$


Simplifique cada fração, cancelando os fatores comuns:

     $\mathsf{\dfrac{1}{a+c}-\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{a+c}}$


Observando a igualdade acima, temos exatamente as diferenças entre os termos consecutivos da sequência formada pelos termos:
 
     $\mathsf{\left(\dfrac{1}{b+c}\,,\,\dfrac{1}{a+c}\,,\,\dfrac{1}{a+b}\right)}$


Como as diferenças entre os termos consecutivos da sequência acima são iguais entre si, logo os números
 
     $\mathsf{\dfrac{1}{b+c}\,,~~\dfrac{1}{a+c}~~~e~~~\dfrac{1}{a+b}}$

formam uma P.A., como queríamos demonstrar.


Bons estudos! :-)