Question

Se a soma dos quadrados das raízes da equação x²+px+10=0 é igual a 29, o valor de p² é multiplo de:

Resp: múltiplo de 7

Answer 1

a soma dos quadrados das raízes se da pela formula:

$S^2-2p=soma.dos.quadrados \\ \\ ( \frac{-b}{a} )^2-2( \frac{c}{a}) =soma.dos.quadrados \\ \\ ( \frac{-p}{1} )^2-2( \frac{10}{1}) =29 \\ \\ p^2-20=29 \\ \\ p^2=49$

Answer 2

O valor de p² é um múltiplo de 7.

A equação x² + px + 10 = 0 é uma equação do segundo grau. Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara para resolvê-la. Dito isso, temos que:

Δ = p² - 4.1.10

Δ = p² - 40

$x=\frac{-p+-\sqrt{p^2-40}}{2}$

Ou seja, as duas raízes dessa equação são $x'=\frac{-p+\sqrt{p^2-40}}{2}$ e $x''=\frac{-p-\sqrt{p^2-40}}{2}$.

De acordo com o enunciado, x'² + x''² = 29.

Então:

$(\frac{-p+\sqrt{p^2-40}}{2})^2+(\frac{-p-\sqrt{p^2-40}}{2})^2=29$

(-p + √(p² - 40))² + (-p - √(p² - 40))² = 29.4

p² - 2.p.√(p² - 40) + p² - 40 + p² + 2p.√(p² - 40) + p² - 40 = 116

4p² - 80 = 116

4p² = 116 + 80

4p² = 196

p² = 49.

Com isso, podemos concluir que o valor de p² é um múltiplo de 7.

Outra forma de resolver

Considere que as raízes da equação são x' e x''.

A soma das raízes é definida por x' + x'' = -b/a. Já o produto das raízes é definido por x'.x'' = c/a.

Se a equação é x² + px + 10 = 0, então x' + x'' = -p e x'.x'' = 10.

Elevando ambos os lados ao quadrado da equação x' + x'' = -p, obtemos:

(x' + x'')² = (-p)²

x'² + 2x'.x'' + x''² = p²

x'² + 2.10 + x''² = p²

x'² + 20 + x''² = p²

x'² + x''² = p² - 20.

Do enunciado, temos que x'² + x''² = 29. Logo:

29 = p² - 20

p² = 29 + 20

p² = 49, ou seja, p² é um múltiplo de 7.

Exercício sobre equação do segundo grau: https://brainly.com.br/tarefa/18133564