Question

Se a sequência log(2), log((2^x)-1), log((2^x)+3) é uma PA, determine o valor de X.

Answer 1

Resposta:

x = log₂5

Explicação passo a passo:

PA ={(log(2), log(2ˣ-1), log(2ˣ+3)}

Numa PA a razão (r):

r₁ = log(2ˣ-1) - log(2)

Pela propriedade do logarítmo do quociente: log(a/b) = log(a)-log(b)

r₁ = log(2ˣ-1) - log(2) = log[(2ˣ-1)/2]

r₂ = log(2ˣ+3) - log(2ˣ-1)

r₂ = log[(2ˣ+3)]/(2ˣ-1)

Mas na PA a razão é constante logo: r = r₁ = r₂

log[(2ˣ-1)/2]  =  log[(2ˣ+3)]/(2ˣ-1)

(2ˣ-1)/2  =  (2ˣ+3)/(2ˣ-1), multiplicando em cruz

(2ˣ-1)²=2(2ˣ+3)

2²ˣ-2.2ˣ+1 = 2.2ˣ+6

2²ˣ-2.2ˣ+1 -2.2ˣ -6 = 0

2²ˣ-4.2ˣ-5 = 0

Chamando 2ˣ = y

y²-4.y-5 = 0

Resolvendo a equação do 2° temos: y = -1 e y=5

Substituindo y = -1 em 2ˣ = y

2ˣ = -1 => ∉ solução

Substituindo y = 5 em 2ˣ = y

2ˣ = 5

log2ˣ = log5

x.log2=log5

x = log5/log2

Pela propriedade de mudança de base: logₐ(b) = logₓ(b)/logₓ(a)

x = log₂5

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{(log\:2),\:(log\:2^x - 1),\:(log\:2^x + 3)}\Leftrightarrow\textsf{formam uma PA}$

$\mathsf{(log\:2^x+ 3) - (log\:2^x - 1) = (log\:2^x - 1) - (log\:2)}$

$\mathsf{log\left(\dfrac{2^x+ 3}{2^x - 1}\right) = log\left(\dfrac{2^x - 1}{2}\right)}$

$\mathsf{\dfrac{2^x+ 3}{2^x - 1} = \dfrac{2^x - 1}{2}}$

$\sf{2^{x + 1} + 6 = 2^{2x} -2^{x+1} + 1}$

$\sf{2^{2x} -2^{x + 2} - 5 = 0}$

$\sf{(2^{x})^2 - 4.2^{x} - 5 = 0}$

$\mathsf{y = 2^x}$

$\mathsf{y^2 - 4y - 5 = 0}$

$\mathsf{y^2 - 4y - 5 + 9 = 0 + 9}$

$\mathsf{y^2 - 4y + 4 = 9}$

$\mathsf{(y - 2)^2 = 9}$

$\mathsf{y - 2 = \pm\:3}$

$\mathsf{y' = 3 + 2 = 5}$

$\mathsf{y'' = -3 + 2 = -1}$

$\mathsf{2^x = 5}$

$\mathsf{log\:2^x = log\:5}$

$\mathsf{x\:log\:2 = log\:5}$

$\boxed{\boxed{\sf{x = log_2\:5}}}$