Question

Se a reta tangente a y=f(x) em (4,3) passar pelo ponto(0,2) encontre f(4) e f'(4)

Answer 1

Eu resolvi usando raciocínio, mas vou explicar o passo a passo pra te ajudar a desenvolver o mesmo caminho.

É possível encontrar a inclinação dessa reta de várias maneiras, os caminhos mais comuns são utilizar y-y0=m(x-x0) ou aplicar cada ponto em uma função de 1º grau (y=ax+b).

Vou utilizar o 2º caminho pra mostrar os valores de forma mais detalhada, mas na primeira opção você chega em um 'm', esse 'm' quer dizer a inclinação da reta no gráfico.

Utilizando (0,2):

2=a.0+b

b=2

tendo o valor de b agora podemos substituir novamente com o outro ponto (4,3):

3=a.4+2

3=4a+2

4a=1

a=$\frac{1}{4}$

Sabemos então que o coeficiente angular da reta vale $\frac{1}{4}$.

Agora que temos todos esses valores vamos entender.

a função f(x), quando derivada no ponto x=4, é igual ao coeficiente angular da reta. Ou seja, f'(4)=$\frac{1}{4}$. A função primitiva por sua vez, quando temos as coordenadas (4,3), sabemos que f(4)=3, porque se a reta passa no ponto (4,3)=(4, f(4)), por consequência f(4)=3.

Se eu tenho a coordenada do gráfico (4, 3) onde X vale 4 e Y vale 3, logo na função primitiva f(4) = 3.

Logo, f(4)=3 e f'(4)=$\frac{1}{4}$