Question

Se a equação 2x² + (m+n)x + n=0 tem duas
raízes reais cuja soma é -1/2 e cujo produto é
- 1/2, então m - n é igual a
A) 4
B) 3
C) 5
D) -3
E) -1

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Monique, que a resolução é simples.

Dada a equação 2x² + (m+n)x + n = 0, sabe-se que ela tem duas raízes reais cuja soma é igual a "-1/2" e cujo produto também é igual a "-1/2".

Agora veja que uma função quadrática da forma ax²+bx+c = 0, com raízes iguais a x' e x'' a soma e o produto dessas raízes será dada assim:

x' + x'' = -b/a
e
x' * x'' = c/a.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Como o produto das raízes é dado por (como já vimos acima):

x' * x'' = c/a ----- substituindo-se o produto por "-1/2" e substituindo-se o termo "c" por "n" e o termo "a" por "2", teremos (note que a função é 2x²+(m+n)x+n = 0):

- 1/2 = n/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*(-1) = 2*n --- ou:
-2 = 2n ---- vamos apenas inverter, ficando:
2n = - 2
n = -2/2
n = - 1 <--- Este é o valor de "n".

ii) Como a soma das raízes é dada por:

x' + x'' = -b/a ---- substituindo-se a soma por "-1/2" e "b" por "m+n" e "a" por "2" (veja que a função é 2x² + (m+n)x + n = 0):

- 1/2 = -(m+n)/2 ---- para facilitar vamos multiplicar  ambos os membros por "-2", com o que ficaremos da seguinte forma:

 1 = m + n --- ou, o que é a mesma coisa:
m + n = 1 ----- como já vimos que n = - 1, então substituiremos "n" por esse valor, ficando:

m + (-1) = 1
m - 1 = 1
m = 1+1
m = 2 <--- Este é o valor de "m".

iii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é a subtração de: m - n. Assim:

m - n = 2 - (-1)
m - n = 2 + 1
m - n = 3 <---- Esta é a resposta. Opção "B".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.