Question

Se a é um ângulo agudo e sen 2a = m então sen a + cos a é igual a:

Answer 1

Se a é um ângulo agudo, então

$\mathsf{0<a<\dfrac{\pi}{2}}\\\\\\ \mathsf{0<2a<\pi}$

e nesse intervalo, temos que

$\mathsf{0<sen\,2a<1}\\\\ \mathsf{0<m<1}$

Chamemos $\mathsf{sen\,a+cos\,a=x.}$ Elevando os dois lados ao quadrado, temos que

$\mathsf{(sen\,a+cos\,a)^2=x^2}\\\\ \mathsf{sen^2\,a+2\,sen\,a\,cos\,a+cos^2\,a=x^2}\\\\ \mathsf{(sen^2\,a+cos^2\,a)+(2\,sen\,a\,cos\,a)=x^2}$

Aplique agora as seguintes identidades trigonométricas:

• sen² a + cos² a = 1

• 2 sen a cos a = sen 2a

e a igualdade fica

$\mathsf{1+sen\,2a=x^2}\\\\ \mathsf{1+m=x^2}\\\\ \mathsf{x=\pm\,\sqrt{1+m}}$

Como a é agudo, temos que

$\mathsf{sen\,a>0}\\\\ \mathsf{cos\,a>0}\\\\ \mathsf{sen\,a+cos\,a>0}\\\\ \mathsf{x>0}$

Então, podemos desprezar a raiz quadrada com o sinal negativo, e obtemos

$\mathsf{x=\sqrt{1+m}}\\\\ \mathsf{sen\,a+cos\,a=\sqrt{1+m}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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Bons estudos! :-)