Question

um submarino a 90 metros de profundidade detecta a sua frente dois navios sob angulo de medidas alfa e beta com a horizontal conforme a representação esquemática a seguir, de modo que cotangente alfa=1/6 e secante
beta=13/12

Answer 1

$cotg\mbox{ }\alpha=\frac{1}{6}\\\\sec\mbox{ }\beta=\frac{13}{12}$

Para achar a distância entre os barcos devemos achar a diferença entre BC e AC.

Primeiro vamos achar o valor de AC. Para isso precisamos saber o valor da tangente de γ, arco complementar de α.

Como sabemos, a tangente de um arco é igual à cotangente do seu arco complementar:

$\boxed{tg\mbox{ }(\,x)\,=cotg\mbox{ }(\,\frac{\pi}{2}-x)\,}$

Logo:

$cotg\mbox{ }\alpha=tg\mbox{ }\gamma=\frac{1}{6}$

Com isso calculamos AC.

$\overline{AC}=90\cdot tg\mbox{ }\gamma\\\\\boxed{\overline{AC}=15}$

Agora, calculando BC:

$sec\mbox{ }\beta=\frac{13}{12}\Rightarrow cos\mbox{ }\beta=\frac{12}{13}$

Sabemos que o cosseno de um arco é igual ao seno de seu arco complementar, então:

$cos\mbox{ }\beta=\frac{12}{13}=sen\mbox{ }\delta$

Agora, calculando a tangente de δ:

$\boxed{sen^2x+cos^2x=1}$

$\frac{144}{169}+cos^2\delta=1\\\\cos\mbox{ }\delta=\sqrt{\frac{25}{169}}\\\\cos\mbox{ }\delta=\frac{5}{13}$

$tg\mbox{ }\delta=\frac{sen\mbox{ }\delta}{cos\mbox{ }\delta}\\\\\boxed{tg\mbox{ }\delta=\frac{12}{5}}$

$\overline{BC}=90\cdot tg\mbox{ }\delta\\\\\overline{BC}=90\cdot\frac{12}{5}\\\\\boxed{\overline{BC}=216}$

$\overline{AB}=\overline{BC}-\overline{AC}\\\\\overline{AB}=216-15\\\\\boxed{\overline{AB}=201}$

A distância entre os navios é 201 m.