Question

Se A e B são tais que X3+aX2 + BX + 20 seja divisível por x2 -5x+4, qual o valor de a+b?

Answer 1

O valor de a + b é igual a -21.

Dividindo x³ por x², encontramos x.

Multiplicando x por x² - 5x + 4, obtemos x³ - 5x² + 4x.

Logo, x² + ax² + bx + 20 - (x³ - 5x² + 4x) = x²(a + 5) + x(b - 4) + 20.

Dividindo x²(a + 5) por x², obtemos a + 5.

Multiplicando a + 5 por x² - 5x + 4, encontramos x²(a + 5) - 5x(a + 5) + 4(a + 5).

Logo, x²(a + 5) + x(b - 4) + 20 - (x²(a + 5) - 5x(a + 5) + 4(a + 5)) = x(b - 4) + 5x(a + 5) + 20 - 4(a + 5).

Do enunciado, temos que o polinômio x³ + ax² + bx + 20 é divisível por x² - 5x + 4. Isso quer dizer que o resto da divisão é igual a 0:

xb - 4x + 5ax + 25x + 20 - 4a - 20 = 0

x(b + 5a - 4 + 25) - 4a = 0

x(5a + b + 21) - 4a = 0.

Portanto,

4a = 0

a = 0

e

5a + b + 21 = 0

b + 21 = 0

b = -21.

A soma a + b é igual a -21.