Question

Se a, b, c pertencem ao conjunto dos reais, com a, b, c diferentes de 0, tais que:

$a + b + c = n - 1 \\ a \times b \times c = n + 1 \\ {(ab)}^{2} + {(bc)}^{2} + {(ac)}^{2} = {n}^{2} - 1$

Calcule $2a + 3b + 4c$:

a)2n

b)3n

c)3n-3

d)4n

#Cálculo e explicação

Answer 1

$\begin{cases}a+b+c=n-1\\abc=n+1\\(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=n^2-1\end{cases}$

Lembre-se que $n^2-1=(n-1)\cdot(n+1)$

Multiplicando as duas primeiras equações membro a membro, obtemos:

$abc\cdot(a+b+c)=(n-1)\cdot(n+1)$

$a^2bc+ab^2c+abc^2=n^2-1~~(i)$

Mas, $(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=n^2-1~~(ii)$

Igualando $(i)$ e $(ii)$:

$a^2bc+ab^2c+abc^2=(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2$

$a^2bc+ab^2c+abc^2=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2$

$a^2bc-a^2b^2+ab^2c-b^2c^2+abc^2-a^2c^2=0$

Note que $a^2b$ é um fator comum aos dois primeiros termos, ao mesmo tempo em que $b^2c$ é um fator comum ao terceiro e ao quarto e $ac^2$ é comum aos dois últimos.

Colocando esses fatores em evidência:

$a^2b\cdot(c-b)+b^2c\cdot(a-c)+ac^2(b-a)=0$

Desse modo, se $a=b=c$ a igualdade é satisfeita.

Substituindo na primeira equação:

$a+b+c=n-1$

$a+a+a=n-1~\longrightarrow~3a=n-1~\longrightarrow~a=\dfrac{n-1}{3}$

$\boxed{a=b=c=\dfrac{n-1}{3}}$

$2a+3b+4c=2\cdot\left(\dfrac{n-1}{3}\right)+3\cdot\left(\dfrac{n-1}{3}\right)+4\cdot\left(\dfrac{n-1}{3}\right)$

$2a+3b+4c=9\cdot\left(\dfrac{n-1}{3}\right)$

$2a+3b+4c=3\cdot(n-1)$

$\boxed{2a+3b+4c=3n-3}$

$\text{Alternativa C}$