Question

Se a, b, c, d são números reais distintos tais que $a$ e $b$ são as raízes da equação
$x^2-3cx-8d \ = \ 0$ , e $c$ e $d$ são as raízes da equação $x^2-3ax-8b \ = \ 0$ . Calcule a soma $a+b+c+d$.

Answer 1

Se "a" é raiz da equação x²-3cx-8d=0:
a²-3ac-8d=0  (I)
Se "c" é raiz da equação x²-3ax-8b=0:
c²-3ac-8b=0  (II)

(I) - (II)
a²-3ac-8d=0
-
c²-3ac-8b=0
___________
a²-c²-8d+8b=0  
a²-c²-8(d-b)=0
a²-c²=8(d-b)   --> a²-c²=(a+c)(a-c)
(a+c)(a-c)=8(d-b)   (III)

Soma das raízes de x²-3cx-8d=0:
a+b=-(-3c/1)
a+b=3c   (IV)

Soma das raízes de x²-3ax-8b=0:
c+d=-(-3a/1)
c+d=3a    (V)

(IV)  -  (V)
a+b=3c
-
c+d=3a
______
a-c+b-d=3c-3a
b-d=3c-3a-a+c
b-d=4c-4a
b-d=4(c-a)
-d+b=4(c-a)  (multiplicando por -1)
d-b=4(a-c)   (VI)

Substituindo (VI) em (II)
(a+c)(a-c)=8(d-b)  ---> d-b=4(a-c)
(a+c)(a-c)=8(4(a-c))
(a+c)(a-c)=32(a-c)
a+c=32   (VII)

(IV)  +  (V)
a+b=3c
+
c+d=3a
______
a+c+b+d=3c+3a
a+b+c+d=3a+3c
a+b+c+d=3(a+c)  ---> como a+c=32 (VII)
a+b+c+d=3.32
a+b+c+d=96

Answer 2

Sabemos que dada a equação Ax² + Bx + C = 0, onde x' e x" as raízes, tem-se:

x' + x" = -B/A

x² -3cx - 8d = 0 ( I)   e    x² - 3ax - 8b = 0 (II)
Sendo a e b as raízes de I e c e d s raízes de II, temos: 

a + b = -(-3c)/1 => a + b = 3c  (III)
c + d = -(-3a)/1 => c + d = 3a  (IV)
Somando os dois lados de (III) e (IV)

a + b + c + d = 3a + 3c => a + b + c + d = 3(a + c) (V)

como a e b são raízes de (I) e c de (II)
a² -3ca - 8d = 0 (VI)
c² -3ac - 8b = 0 (VII), multiplicando por (-1)

a² - 3ca - 8d = 0
-c² + 3ca + 8b = 0
-----------------------
a² - c² - 8d + 8b = 0 =>  (a - c)(a + c)  -8d + 8b = 0
(a - c) ( a + c) = 8d - 8b = 0 => (a - c)(a + c) = 8(d - b)  (VIII)

de
a + b = 3c
c + d  = 3a (mult. -1)

a + b = 3c
-c - d = - 3a
----------------
a - c + b - d = 3c - 3a => b - d = 3c+ c - 3a - a
b - d = 4c - 4a => b - d = 4(c - a) (IX)

De VIII: (a-c)(a+c)  = 8(d - b) => (a - c) (a + c) = 8.4(c - a) 
Dividindo os dois lados por a - c, fica:
a + c = 4
 Substituindo a + c =32 em (V)

a + b + c + d = 3.32 => a+ b + c + d = 96