Question

Se 3x^2-9x+7= (x-a)^3 - (x-b)^3 , para todo número real x, o valor de a.b é​

Answer 1

Resposta:

ab = 2

Explicação passo a passo:

3x²- 9x + 7 = (x - a)³ - (x - b)³

Para resolver vamos utilizar os produtos notáveis:  

(a + b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

3x²- 9x + 7 = x³ - 3x²a + 3xa² - a³ - (x³ - 3x²b + 3xb² - b³)

3x²- 9x + 7 = x³ - 3x²a + 3xa² - a³ - x³ + 3x²b - 3xb² + b³

Organizando os termos teremos:

3x²- 9x + 7 = x³ - x³- 3x²a + 3x²b + 3xa² - 3xb² - a³ + b³

Colocando os termos semelhantes em evidência teremos:

3x²- 9x + 7 = (- 3a + 3b)·x² + (3a² - 3b²)·x - a³ + b³

Aqui temos uma igualdade de polinômios de segundo grau. Para que a igualdade seja verdadeira, os coeficientes tem que ser iguais. Então:

3 = - 3a + 3b         (e1)                    Para encontrar o valor de a e b é só

-9 = 3a² - 3b²         (e2)                   resolver esse sistema.

7 = - a³ + b³           (e3)

e1 ÷ 3   ⇒      1 = -a + b   ∴     b = 1 + a      (e4)

e2 ÷3   ⇒      -3 = a² - b²       (e5)

Substitui e4 na e5    ⇒      -3 = a² - (1 + a)²     ∴      -3 = a² - (1 + 2a + a²)     ∴

                                           -3 = a² - 1 - 2a - a²     ∴      -3 = -1 - 2a     ∴

                                           -3 + 1 = - 2a    ∴    -2 = -2a      ∴      a = -2/-2     ∴  

                                             a = 1

Substitui a = 1  na  e4     ⇒      b = 1 + a    ∴     b = 1 + 1     ∴     b = 2

a = 1   e   b = 2    ⇒    ab = 1 · 2     ∴     ab = 2