Question

se 3^n=5 então log₅255 = ?

Answer 1

Ae manoo,

vamos passar a expressão exponencial $3^n=5$, para a logarítmica..

$\log_3(5)=n$.

como queremos log de 255 na base 5, podemos passa-lo para a base 3, (pois o logaritmo dado, está na base 3)..para isso, usaremos a P.M.B. (propriedade de mudança de base)..

$\log_{b}(a)~para~uma~certa~base~c\Rightarrow \dfrac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$

Podemos também usar, a do produto

$\log_b(ca)\Rightarrow \log_b(c)+\log_b(a)$

e a decorrente da definição..

$\log_b(b)=1$

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$\log_5(255)= \dfrac{\log_3(255)}{\log_3(5)}\\\\ \Rightarrow\log_5(255)= \dfrac{\log_3(17\cdot3\cdot5)}{\log_35}\\\\ \Rightarrow\log_5(255)= \dfrac{\log_3(17)+\log_3(3)+\log_3(5)}{\log_3(5)}\\\\ \log_3(5)=n,~lembra??\\\\ \Rightarrow\log_5(255)= \dfrac{\log_3(17)+1+n}{n}\\\\ \Rightarrow \log_5(255)= \dfrac{1}{n}+ \dfrac{n}{n}+ \dfrac{\log_3(17)}{n}\\\\\\ \Rightarrow\Large\boxed{\log_5(255)= \dfrac{1}{n}+1+ \dfrac{\log_3(17)}{n}}$


FLW manoo