Question

Se 3 e -3 são duas raizes da equação
$x ^{4} - 5x^{2} - 36 = 0$
as outras raizes são :

a) 3i e 2i
b) 2i e - 2i
c) - i e - 3i
d) 3i e - 3i​

Answer 1

Resposta:

x = 2i ou x = -2i

Explicação passo-a-passo:

Esta equação é biquadrada, podemos resolvê-la com a fórmula de Bhaskara e fazendo uma substituição simples. Vamos chamar x² = y e reescrever a equação:

$x^4 - 5x^2 - 36 = 0 => y^2 - 5y - 36 = 0$

E agora podemos resolver normalmente.

Δ = (-5)² - 4.1.(-36)

Δ = 25 + 144

Δ = 169

√Δ = √169 = 13.

E assim, as raízes são:

$y_1 = \dfrac{-(-5)+13}{2} = \dfrac{5+13}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$

$y_2 = \dfrac{-(-5)-13}{2} = \dfrac{5-13}{2} = \dfrac{-8}{2} = -4$

Encontramos os valores de y,porém eles não são as raízes da nossa equação principal, para encontrar estas, precisamos transformar y em x novamente. Como fizemos:

x² = y

Temos que:

x² = 9

x =  √9  => x = 3 ou x = -3 (que são as raízes que já tinhamos no exercício)

Então queremos as outras:

x² = - 4

x = √-4  => x = 2i ou x = -2i

Answer 2

$\sf x^4-5x^2-36=0\\\\\\\sf \bullet{Reescreva\:a\:equacao\:com\:}u=x^2{\:e\:}u^2=x^4\\\\\\\sf u^2-5u-36=0\\\\\\\sf u=9,\:u=-4\\\\\\\sf \bullet {Substitua}\:u=x^2,\:{solucione\:para}\:x\\\\\\\sf x^2=9\to x=3,x=-3\\\\\\\sf x^2=-4\to x=2i,x=-2i\\\\\\\\\to \boxed{\sf x=3 }\\\to\boxed{\sf x=-3 }\\\to\boxed{\sf x=2i} \\\to \boxed{\sf x=-2i}\\\\\\\bullet Alternativa\to B)$