Question

Se ( 2, 1 ) , ( 3, 3 ) e ( 6, 2 ) são os pontos médios dos lados de um triangulo, calcule as coordenadas de seus vértices.​

Answer 1

$\boxed{\boxed{\boxed{Ola\´ \: \: Luca} }}}$

Têm-se os pontos médios :

$\mathtt{A(2,1)} \\ \mathtt{B(3,3)} \\ \mathtt{C(6,2)}$

Primeiro, calculemos as abcissas dos vértices.

$\begin{cases} \mathtt{\dfrac{x_A + x_B}{2} = 2} \\ \\ \mathtt{\dfrac{x_A + x_C}{2} = 6} \\ \\ \mathtt{\dfrac{x_B + x_C}{2} = 3} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \\ \begin{cases} \mathtt{{x_A + x_B} = 2 \cdot 2} \\ \mathtt{{x_A + x_C} = 2 \cdot 6} \\ \mathtt{{x_B + x_C} = 2 \cdot 3} \end{cases} \\ \\ \Leftrightarrow \\ \begin{cases} \mathtt{{x_A + x_B} = 4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (i) \\ \mathtt{{x_A + x_C} = 12} \: \: \: \: \: \: \: \: (ii) \\ \mathtt{{x_B + x_C} = 6}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (iii) \end{cases}$

Somando a equação (i) com a equação (ii) têm-se:

$\begin{cases} \mathtt{{x_A + x_B} = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: ( - 1)} \\ \mathtt{{x_A + x_C} = 12} \end{cases} \\ \\ \begin{cases} \mathtt{{ \cancel{- x_A} - x_B} = - 4 } \\ \mathtt{{ \cancel{x_A} + x_C} = 12} \end{cases} \\ \Rightarrow \mathtt{x_C - x_B = 8 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (iv)}$

Somando a equação resultante (iv) com a equação (iii), têm-se:

$\begin{cases} \mathtt{ x_C - \cancel{x_B} = 8 } \\ \mathtt{{ \cancel{x_B} + x_C} = 6} \end{cases} \\ \Rightarrow \mathtt{2x_C = 14} \\ \Leftrightarrow \mathsf{\red{x_C = 7}}$

• Substituindo $\mathtt{x_C}$ na equação (iii), obtém-se:

$\Leftrightarrow \mathtt{ x_B + 7 = 6} \\ \Leftrightarrow \mathtt{\red{x_B = -1}}$

• Subistituindo $\mathtt{x_B}$ na equação (i), teremos:

$\Leftrightarrow \mathtt{ x_A - 1 = 4} \\ \Leftrightarrow \mathtt{\red{x_A = 5}}$

Em seguida, calculemos as ordenadas dos vértices.

$\begin{cases} \mathtt{\dfrac{y_A + y_B}{2} = 1} \\ \\ \mathtt{\dfrac{y_A + y_C}{2} = 2} \\ \\ \mathtt{\dfrac{y_B + y_C}{2} = 3} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \\ \begin{cases} \mathtt{{y_A + y_B} = 2 \cdot 1} \\ \mathtt{{y_A + y_C} = 2 \cdot 2} \\ \mathtt{{y_B + y_C} = 2 \cdot 3} \end{cases} \\ \\ \Leftrightarrow \\ \begin{cases} \mathtt{{y_A + y_B} = 2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (i) \\ \mathtt{{y_A + y_C} = 4} \: \: \: \: \: \: \: \: (ii) \\ \mathtt{{y_B + y_C} = 6}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (iii) \end{cases}$

Somando a equação (i) com a equação (ii) têm-se:

$\begin{cases} \mathtt{{y_A + y_B} = 2 \: \: \: \: \: \: \: \: ( - 1)} \\ \mathtt{{y_A + y_C} = 4} \end{cases} \\ \\ \begin{cases} \mathtt{{ \cancel{- y_A} - y_B} = - 2 } \\ \mathtt{{ \cancel{y_A} + y_C} = 4} \end{cases} \\ \Rightarrow \mathtt{y_C - y_B = 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (iv)}$

Somando a equação resultante (iv) com a equação (iii), têm-se:

$\begin{cases} \mathtt{ y_C - \cancel{y_B} = 2 } \\ \mathtt{{ \cancel{y_B} + y_C} = 6} \end{cases} \\ \Rightarrow \mathtt{2y_C = 8} \\ \Leftrightarrow \mathsf{\blue{y_C = 4}}$

• Substituindo $\mathtt{y_C}$ na equação (iii), obtém-se:

$\Leftrightarrow \mathtt{ y_B + 4 = 6} \\ \Leftrightarrow \mathsf{\blue{y_B = 2}}$

• Subistituindo $y_B$ na equação (i), teremos:

$\Leftrightarrow \mathtt{ y_A + \cancel{2} = \cancel{2}} \\ \Leftrightarrow \mathsf{\blue{y_A = 0} }$

Logo, as coordenadas do vértices são:

$\large{\begin{cases} \mathsf{V_A (\red{5} , \blue{0} )} \\ \\ \mathsf{V_B (\red{-1} , \blue{2})} \\ \\ \mathsf{V_C ( \red{7}, \blue{4})} \end{cases}}$



Estava te devendo uma Luca, espero ter ajudado !
Ótimos estudos :)