Question

Se 17668 = 4^â + 4^b + 4^c + 4^d, calcular o valor de a + b + c + d.

Answer 1

Resposta: a + b + c + d = 17

Sou obrigada a admitir, que questão interessante! Para resolvê-la, partiremos da expressão 17668 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ e procederemos do seguinte modo:

17668 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ

4 . 4417 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4 . (4416 + 1) = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4 . 4416 + 4 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4 . 4³ . 69 + 4 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4⁴ . 69 + 4 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4⁴ . (68 + 1) + 4 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4⁴ . 68 + 4⁴ + 4 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4⁴ . 4 . 17 + 4⁴ + 4 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4⁵ . 17 + 4⁴ + 4 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4⁵ . (16 + 1) + 4⁴ + 4 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4⁵ . 16 + 4⁵ + 4⁴ + 4 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4⁵ . 4² + 4⁵ + 4⁴ + 4 = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ  

4⁷ + 4⁵ + 4⁴ + 4¹ = 4ᵃ + 4ᵇ + 4ᶜ + 4ᵈ   ( I )

Com base na equação ( I ), podemos garantir que a soma a + b + c + d vale 7 + 5 + 4 + 1 = 17.

Obs.: para quem não percebeu, veja que o exercício pede o valor da soma a + b + c + d em vez de cada um dos valores das incógnitas a, b, c e d separadamente, haja vista que, independentemente dos valores — dentre 7, 5, 4 e 1 — assumidos por cada uma destas incógnitas, a soma a + b + c + d é o total da adição das quatro parcelas inteiras a, b, c e d, e, devido à comutatividade da adição, a + b + c + d é sempre constante e igual a 17.