Question

Se 1, log x, 3 estão em P.A, calcule x

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para calcular o valor de "x" na seguinte sequência, sabendo-se que ela é uma PA:

(1; log₁₀ (x); 3) ----- veja: colocamos base "10" no log de "x", pois quando a base é omitida subentende-se que ela seja "10".

Veja: se a sequência acima é uma PA, então a razão (r) é constante e é encontrada pela subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente.
Então, para ser uma PA, deveremos ter isto:

3 - log₁₀ (x) = log₁₀ (x) - 1

Agora note: como estamos trabalhando com logaritmo de base 10, então note que o "3" e o "1" poderão ser expressos assim:

3 = log₁₀ (10³) ----- pois log₁₀ (10³) = 3*log₁₀ (10) = 3*1 = 3.
e
1 = log₁₀ (10) ----- pois: log₁₀ (10) = 1.

Assim, fazendo essas substituições, teremos:

log₁₀ (10³) - log₁₀ (x) = log₁₀ (x) - log₁₀ (10)

Agora veja isto: como as bases são as mesmas, então poderemos transformar cada subtração vista aí em cima em divisão, ficando da seguinte forma:

log₁₀ (10³/x) = log₁₀ (x/10) ---- como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos. Assim:

10³/x = x/10 -----  note que 10³ = 1.000. Assim:
1.000/x = x/10 ------ multiplicando-se em cruz, teremos:
10*1.000 = x*x
10.000 = x² ----- vamos apenas inverter, ficando:
x² = 10.000
x = +-√(10.000) ----- como √(100) = 100, teremos:
x = +- 100 ----- daqui você conclui que:

x' = - 100 <---- raiz inválida, pois não há logaritmo de número negativo.
x'' = 100 <------ raiz válida.

Assim, "x" terá o valor de "100", ou seja:

x = 100 <---- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {100}

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.