Question

São dados três números positivos e consecutivos, de forma que, somando se o quadrado do primeiro com o quadrado do segundo, obtém-se o quadrado do terceiro. Sendo K +1 o maior desses números, o menor deles pode ser representado por:

Answer 1

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⠀⠀☞ O menor destes três termos positivos e sequenciais pode seguramente ser representado por k - 1, o que nos leva à opção a).⠀✅  

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⚡ Pergunta: " -O que são, afinal, termos consecutivos?"  

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⠀⠀São chamados termos consecutivos os termos em que o termo sucessor é sempre igual ao termo antecessor somado à 1, ou seja, os termos forma uma progressão aritmética de razão 1.

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⠀⠀Desta forma temos que se o terceiro termo for chamado de k + 1 então o seu antecessor (o segundo termo) será:

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$\Large\blue{\sf (k + 1) - 1 = k + 1 - 1}$

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$\LARGE\blue{\sf (k + 1) - 1 = \boxed{\sf~k~}}$

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⠀⠀E o antecessor deste (o primeiro termo) será:

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$\LARGE\blue{\sf (k) - 1 = \boxed{\sf~k - 1~}}$

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⠀⠀O que nos leva à opção a). ✌

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\red{a)}~\blue{k - 1}~~~}}$⠀✅

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⚡ Pergunta: " -Mas e nossa soma de quadrados, ela se mantém verdadeira?"  

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⠀⠀Vamos verificar:

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$\LARGE\blue{\sf (k - 1)^2 + k^2 = (k + 1)^2}$

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$\Large\blue{\sf k^2 - 2k + 1 + k^2 = k^2 + 2k + 1}$

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$\Large\blue{\sf 2k^2 - 2k + \diagup\!\!\!\!{1} = k^2 + 2k + \diagup\!\!\!\!{1}}$  

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$\LARGE\blue{\sf 2k^2 - 2k = k^2 + 2k}$

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⠀⠀✋ Observe que aparentemente a igualdade não é mantida, pois aparentemente o lado esquerdo não é igual ao lado direito, porém como temos uma variável k nesta igualdade o que precisamos fazer é verificar se ∃ k ∈ Z tal que a igualdade acima seja mantida.⠀  

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⚡ Pergunta: " -Como podemos descobrir o valor de k?"  

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⠀⠀Através de algumas manipulações algébricas. Acompanhe:

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$\blue{\sf -(k^2 + 2k) + 2k^2 - 2k = k^2 + 2k - (k^2 + 2k)}$

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$\LARGE\blue{\sf -k^2 - 2k + 2k^2 - 2k = 0}$

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$\LARGE\blue{\sf k^2 - 4k = 0}$  

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⠀⠀Como sabemos que k é diferente de zero (pois se fosse igual à zero teríamos que o primeiro e o segundo termo não seriam positivos, o que seria absurdo já que o enunciado afirma que eles são positivos) então podemos dividir ambos os lados da igualdade por k:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dfrac{k^{\diagup\!\!\!\!{2}} - 4\diagup\!\!\!\!{k}}{\diagup\!\!\!\!{k}} = \dfrac{0}{k} }}$

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$\LARGE\blue{\sf k - 4 = 0}$

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$\LARGE\blue{\sf 4 + k - 4 = 0 + 4}$

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$\LARGE\blue{\sf k = 4}$

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⠀⠀Ou seja, sendo 4 ∈ Z então temos que a igualdade foi mantida:

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$\Large\blue{\text{ \sf 2 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4~~\red{\overbrace{=}^{\large?}}~~4^2 + 2 \cdot 4 }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf 2 \cdot 16 - 8~~\red{\overbrace{=}^{\large?}}~~16 + 8 }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf 32 - 8~~\red{\overbrace{=}^{\large?}}~~24 }}$

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$\LARGE\blue{\sf 24 = 24}$⠀✅

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⚡ Pergunta: " -Quais são nossos três termos então?"  

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$\blue{\LARGE\sf~~\begin{cases}\sf~k - 1 = 4 - 1 = \boxed{~3~}\\\\ \sf~k = \boxed{~4~}\\\\\sf~k + 1 = 4 + 1 = \boxed{~5~}\end{cases}}$⠀✅  

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⠀⠀O que confirma a opção a). ✌  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$  

⠀⠀☀️ Leia mais sobre:  

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✈ Manipulação Algébrica (brainly.com.br/tarefa/37266101)  

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁  

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$  

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄  

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍  

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀  

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$\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞