Question

Sao dados os pontos a(2,y), b(1-4)e c(3-1) qual deve ser o valor de y para que o triangulo abc seja retangulo em b?.

Answer 1

Por meio dos cálculos, conseguimos concluir que o ângulo que torna B retângulo é $\boxed{\bf y=-\frac{14}{3}}$

Temos os seguintes pontos:

$\: \: \: \bf A(2,y), \: B(1,-4) \: \: e \: \: C(3,-1)$

Para determinarmos o valor de y do ponto A, de forma que o triângulo seja retângulo em B, utilizaremos as propriedades de vetores e produto escalar.

• Roteiro

$\begin{cases} 1) \: vetores \: \vec{AB} ,\: \vec{AC} \: e \: \vec{ BC} \\ 2) \: a \: \cdot \: \: b = 0 \: \to \: \theta = 90 {}^{o} \\ 3) \: produto \: escalar \end{cases}$

• Como dito no roteiro, vamos determinar os vetores a partir dos pontos fornecidos.

Para fazer a construção dos vetores, devemos fazer a subtração de um "ponto final" por um "ponto inicial", isto é:

$\begin{cases} \vec{AB} = B - A \: \\ \vec{AB} =(1 , - 4) - (2 ,y) \\ \vec{AB} = (1 - 2 , - 4 - y) \\ \vec{AB} = ( - 1 , - 4 - y)\end{cases} \begin{cases} \vec{ AC} =C - A \\\vec{ AC} = (3 , - 1) - (2 ,y) \\\vec{ AC} = (3 - 2 , - 1 - y) \\\vec{ AC} = (1 , - 1 - y) \end{cases} \begin{cases} \vec{ BC }= C - B \\\vec{ BC } = (3 , - 1) - (1 , - 4) \\ \vec{ BC } = (3 - 1 , - 1 - ( - 4)) \\\vec{ BC } = (2 ,3) \end{cases}$

• Tendo montado estes vetores, usaremos basicamente os que utilizam o ponto "B", já que queremos o triângulo retângulo em "B".

Agora vamos aplicar a propriedade do produto escalar ser igual a 0, que representa que os lados possuem um ângulo de 90°. Logo, temos:

$\vec{AB} \: \cdot \: \vec{ BC } = 0 \: \: \to \: \: ( - 1 , - 4 - y) \: \cdot \: (2 ,3) = 0 \\ \\ - 1.2 + 3.( - 4 - y) = 0 \: \to \: - 2 - 12 - 3y = 0 \\ \\ - 3y = 14 \: \: \to \: \: \boxed{ y = - \frac{14}{3} }$

Portanto, este é o valor de y que faz com que o ângulo em B seja 90°.

Espero ter ajudado

Para mais exemplos, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/6415037

https://brainly.com.br/tarefa/653595

Answer 2

O valor de y para que o triângulo dado seja retângulo em B vale y = -14/3.

Podemos determinar a distância pedida a partir da fórmula da distância entre dois pontos para determinar os comprimentos do triângulo e depois o Teorema de Pitágoras para determinar y.

Distância entre Dois Pontos

Dados dois pontos no plano cartesiano: A = ( xₐ, xᵦ) e B = (yₐ, yᵦ). A distância entre eles pode ser calculada pela fórmula:

d = √((yᵦ - yₐ)²+(xᵦ - xₐ)²)

Dados os pontos: A = (2,y) , B = (1, -4), C = (3, -1).

• Lado AB:

dₐᵦ = √((yᵦ - yₐ)²+(xᵦ - xₐ)²)

dₐᵦ = √((-4 - y)²+(1 - 2)²)

dₐᵦ = √((-4 - y)²+(-1)²)

dₐᵦ = √((-4 - y)²+ 1)

• Lado AC:

dₐc = √((yc - yₐ)²+(xc - xₐ)²)

dₐc = √(((-1) - y)²+(3 - 2)²)

dₐc = √((-1 - y)²+(1)²)

dₐc = √((-1 - y)²+ 1)

• Lado BC:

dᵦc = √((yc - yᵦ)²+(xc - xᵦ)²)

dᵦc = √(((-1) - (-4))²+(3 - 1)²)

dᵦc = √(((3)²+(2)²)

dᵦc = √(9+4)

dᵦc = √13

Teorema de Pitágoras

Dado um triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras diz que:

a² + b² = c²

Em que:

• a e b são os catetos do triângulo retângulo;
• c é a hipotenusa do triângulo retângulo.

Sabendo que a hipotenusa corresponde ao lado AC do triângulo, substituindo os comprimentos obtidos anteriormente:

a² + b² = c²

(dₐᵦ)² + (dᵦc)² = (dₐc)²

(√((-4 - y)²+ 1))² + (√13)² = (√((-1 - y)²+ 1))²

((-4 - y)²+ 1)² + 13 = ((-1 - y)²+ 1)

(4 + y)² + 1 + 13 = (1 + y)² + 1

16 + 8y + y² + 14 = 1 +2y + y² + 1

6y = -28

y = -14/3

O valor de y é igual a -14/3.

Para saber mais sobre Geometria Analítica, acesse: brainly.com.br/tarefa/7198444

brainly.com.br/tarefa/43108953

Espero ter ajudado, até a próxima :)

#SPJ11