Question

sao dados os pontos A(2,3) e B(8,5). Determine a equação da mediatriz de AB.

Answer 1

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular $m$ (inclinação) da reta que contém os pontos $A(2,3)$ e $B(8,5)$:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\\ \\ m=\frac{5-3}{8-2}\\ \\ m=\frac{2}{6}\\ \\ \boxed{m=\frac{1}{3}}$


Agora, encontramos as coordenadas do ponto médio $M(x_{M},y_{M})$ do segmento $\overline{AB}$:

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\\ \\ x_{M}=\frac{2+8}{2}\\ \\ \boxed{x_{M}=5}$

$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\\ \\ y_{M}=\frac{3+5}{2}\\ \\ \boxed{y_{M}=4}$

O ponto médio é $M(5,4)$.


O coeficiente angular da mediatriz $m_{\perp}$ é o inverso negativo do coeficiente angular $m$ da reta que contém os pontos $A$ e $B$, já que a mediatriz e o segmento $\overline{AB}$ são ortogonais. Dessa forma

$m_{\perp}=-\frac{1}{m}\\ \\ m_{\perp}=-\frac{1}{\frac{1}{3}}\\ \\ \boxed{m_{\perp}=-3}$


Finalmente, a equação da reta mediatriz procurada é a equação da reta de coeficiente angular $m_{\perp}$ que passa pelo ponto $M(5,4)$. A equação da mediatriz é

$y-y_{M}=m_{\perp} \cdot \left(x-x_{M} \right)\\ \\ y-4=-3 \cdot \left(x-5 \right )\\ \\ y-4=-3x+15\\ \\ y=-3x+15+4\\ \\ \boxed{y=-3x+19}$