Question

São dados os pontos a(1, 1) e b(9, 3). A mediatriz do segmento ab encontra o eixo dos y no ponto de ordenada igual a a) 20 b) 21 c

Answer 1

A mediatriz do segmento dado encontra com o eixo das ordenadas em y = 22 (opção c).

Para realizar este exercício vamos utilizar o perpendicularismo entre retas.

Equação da reta que passa por a e b

Conhecendo dois pontos podemos encontrar a reta que passa por ambos através da determinante da seguinte matriz:

$\large\blue{\left[\begin{array}{ccc}\sf x&\sf y&\sf 1\\&&\\\sf x_1&\sf y_1&\sf 1\\&&\\\sf x_2&\sf y_2&\sf 1\end{array}\right]}$

Ou também podemos encontrar em dois passos:

1. Encontrar o coeficiente angular da reta;
2. Encontrar o coeficiente linear da reta.

Para encontrar o coeficiente angular podemos utilizar a fórmula do "yoyo-mi-xoxo":

3 - 1 = m * (9 - 1)

2 = 8m

m = 2/8

m = 1/4

Para o coficiente linear vamos usar um dos pontos conhecidos (a) na expressão reduzida da função afim y = mx + n:

1 = 1/4 * 1 + n

1 = 1/4 + n

n = 1 - 1/4

n = 4/4 - 1/4

n = 3/4

Sendo assim a equação da reta que passa por a e b é y = x/4 + 3/4.

Ponto médio do segmento ab

O ponto médio é dado pela média das coordenadas:

P = ((1+9)/2, (1+3)/2)

P = (10/2, 4/2);

P = (5, 2)

Perpendicularismo entre retas

Sabendo que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é sempre -1 então temos que, para a reta mediatriz do segmento o seu coeficiente angular será:

m₁ * m₂ = -1

(1/4) * m₂ = -1

m₂ / 4 = -1

m₂ = -4

Equação da reta mediatriz ao segmento ab

Conhecendo m₂ e um dos pontos da mediatriz (o ponto médio) temos que seu coeficiente linear será:

y = m₂x + n₂

2 = (-5) * 4 + n₂

2 = -20 + n₂

n₂ = 2 + 20

n₂ = 22

Ou seja, y = -4x + 22. Sabendo que o coeficiente linear é justamente o ponto por onde a função cruza com o eixo y então temos que a opção correta é o item c).

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