São dados dois polígonos regulares. O segundo tem quatro lados a mais que o primeiro e o angulo externo do primeiro excede a medida do ângulo externo do segundo em 45°.Determine o numero de lados do primeiro poligono regular.
Soluções para a tarefa
Dois polígonos regulares
Primeiro polígono:... x
Número de lados do 1º:. n
Número de lados do 2º:.. n + 4
Ângulo externo do 2º:... a
Ângulo externo do 1º:.. a + 45°
Soma dos ângulos externos de qualquer polígono = 360°
1º polígono: 360° / n = a + 45°.......=> a = 360° / n - 45°........ ( i )
2º polígono: 360° / n+4 = a............=> a = 360° / n+4............... ( ii )
Então:.. ( i ) = ( ii )...... ( pois ambas representam a )
..=> 360° / n - 45° = 360° / n+4......... ( multiplica toda equação por n.(n + 4) )
.. 360° . ( n + 4) - 45° . n.(n+4) = 360° . n
.. 360°.n + 1.440° - 45°.n² - 180°.n = 360°.n
.. - 45°.n² - 180°.n + 1.440° = 0........ ( dividindo os termos por 45° )
.. - n² - 4.n + 32 = 0....... ( equação de 2º grau
a = - 1;.... b = - 4;.... c = 32
Delta = b² - 4 . a . c = (-4)² - 4 . (- 1).(32) = 16 + 128 = 144
Raiz de 144 = + - 12......... (obs.: n tem que ser positivo )
n' = ( -(-4) + 12 ) : 2.(-1) = ( 4 + 12 ) :( - 2) = 16 :( - 2) = - 8.. (não convém)
n" = ( 4 - 12 ) : ( - 2) = - 8 : ( - 2) = 4.
Resposta:.. 4 ( é o número de lados do primeiro polígono )