Question

ajuda
Sejam x e y números irracionais tais que ( 1951 − x ) 3 + ( x + y − 1950 ) 3 = ( y + 1 ) 3 . Determine o maior inteiro positivo n tal que n 2 é menor ou igual a x + y .

Answer 1

Vamos à resolução do exercício proposto.

Lembremos da soma de cubos de dois números reais ou complexos, que por sua vez é dada por:

a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)  =>

a³+b³ = (a+b)[(a+b)²-2ab-ab]  =>

a³+b³ = (a+b)[(a+b)²-3ab]; para todo “a” e “b” complexos.

Com isso vamos à resolução do problema.

(1951-x)³+(x+y-1950)³ = (y+1)³  =>

[(1951-x)+(x+y-1950)][(1951-x+x+y-1950)²-3(1951-x)(x+y-1950)] = (y+1)³  <=>

(y+1)[(y+1)²-3(1951-x)(x+y-1950)] = (y+1)(y+1)²  <=>

(y+1)²-3(1951-x)(x+y-1950) = (y+1)²    <=>

-3(1951-x)(x+y-1950) = 0  <=>

x = 1951  (Absurdo! O enunciado  informa a irracionalidade de “x”)

ou

x+y = 1950  (É o valor da soma, que por sua vez é válida)

Com isso, o maior valor inteiro e positivo “n”, cujo quadrado (“n²) é menor ou igual a 1950 é 44.

O maior inteiro positivo “n” é igual a 44 (pois 44² = 1936; que por sua vez satisfaz as condições impostas).

Abraços!