Question

São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos podem ser formados com vértices em 3 dos 12 pontos?​

Answer 1

5 estão alinhados.

7 não estão alinhados.

Se pegarmos 1 alinhado (temos 5 possibilidades) e todas as possibilidade de pegar 2 não alinhados temos:

5 . C7,2 => 5 . 21 => 105

Se pegarmos 2 alinhados e 1 não alinhado também teremos um triângulo:

C5,2 . 7 => 10 . 7 => 70

E se pegarmos 3 não alinhados também teremos triângulos:

C7,3 => 35

Somando:

105 + 70 + 35 => 210 triângulos.

Answer 2

210 triângulos podem ser formados com vértices em 3 dos 12 pontos.

Combinação simples

Na combinação simples, estudamos a contagem de todos os subconjuntos de n elementos quando estes são agrupados em subconjuntos de k elementos. A fórmula para a combinação simples é:

$C(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}$

onde n é o número total de elementos e k é o número de elementos de cada subconjunto. Queremos formar triângulos com 3 desses 12 pontos. Para formar um triângulo, temos as seguintes possibilidades:

1. 3 pontos não-alinhados;
2. 2 pontos alinhados e 1 não alinhado;
3. 1 ponto alinhado e 2 não alinhados.

Para o caso 1, teremos que escolher 3 pontos dentre 7 possibilidades:

C(7, 3) = 7!/(7 - 3)!·3!

C(7, 3) = 7·6·5·4!/4!·3·2·1

C(7, 3) = 35 triângulos

Para o caso 2, teremos que escolher 2 pontos alinhados dentre 5 possibilidades e um não alinhado dentre 7 possibilidades:

7·C(5, 2) = 7 · 5!/(5 - 2)!·2!

7·C(5, 2) = 7 · 5·4·3!/3!·2·1

7·C(5, 2) = 70 triângulos

Para o caso 3, teremos que escolher 1 ponto alinhado dentre 5 possibilidades e 2 não alinhados dentre 7 possibilidades:

5·C(7, 2) = 5 · 7!/(7 - 2)!·2!

5·C(7, 2) = 5 · 7·6·5!/5!·2·1

5·C(7, 2) = 105 triângulos

O total de triângulos é:

35 + 70 + 105 = 210

Leia mais sobre combinação simples em:

https://brainly.com.br/tarefa/18000782

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