Question

São dadas duas progressões: uma P.A  e outra P.G. Sabe-se que :

#ambas tem três termos positivos;

#em ambas, o 2º termo é 8;

#o 1º termo da P.G. é igual ao 3º termo da P.A.;

#a soma dos termos da P.G. é 42;

Qual é o 1º termo da P.A.

 

Answer 1

Sejam $b_i$ os termos da PG e $a_i$ os termos da PA. A partir da definição de PG temos que $\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}$, que pode ser reescrito como $b_1.b_3 = b_2^2$. A partir disso podemos montar o sistema:

$\left \{ {{b_1.b_3=b_2^2} \atop {b_1+b_2+b_3=42}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b_1.b_3=64} \atop {b_1+8+b_3=42}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b_1.b_3=64} \atop {b_1+b_3=34}} \right.$

Os valores de $b_1 \ e \ b_3$ são raízes da equação x²-34x+64=0, então encontraremos dois valores para $b_1$ e, portanto, dois valores para $b_3$. Resolvendo aquela equação encontramos $b_1 = 32 \ ou \ b_1 = 2$.

Pela questão temos que $b_1 = a_3 \ e \ b_2 = a_2 = 8$. A partir da definição de PA temos:

$a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \Rightarrow \underline{a_1 = 16 - a_3}$

Agora é só substituir os possíveis valores de $a_3$ para encontrarmos o valor de $a_1$.

$i) \ a_3 = 32 \\ a_1 = 16 - 32 \Rightarrow a_1 = -16 <0 \ (n\~{a}o \ pode) \\ \\ ii) \ a_3 = 2 \\ a_1 = 16 - 2 \Rightarrow \boxed{\boxed{a_1 = 14}}$