Question

SALVE, ALGUÉM SALVA NÓIS AI! :0 (3)

Represente os seguintes conjuntos por extensão de seus elementos:

a) A = {x ∈ N | x ≤ 4}

b) B = {x ∈ N | 2 < x ≤ 6}

c) C = {x ∈ Z | -2 ≤ x < 0}

d) D = {x ∈ N | $x^{2}$ - 4x - 5 = 0}

e) E = {x ∈ R+ | 2$x^{2}$ + x = 0}

f) F = {x ∈ Q | -3$x^{2}$ + 2x = 0}

De preferência explique meu jovem, tenho que fazer uma prova sobre

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Samuel, que a sua questão, embora simples, é um pouco trabalhosa, pois teremos que colocar todos os conjuntos por extensão de seus elementos.

Antes, veja que os conjuntos dos números Naturais, dos Inteiros, dos Racionais e dos Reais₊ são estes:

N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ........}
Z = {....... -3; -2. -1; 0; 1; 2; 3; .......}
Q = {é a união dos conjuntos inteiros com os dos números fracionários não inteiros}.
R₊ = {são todos os números reais não negativos e, claro, que inclui o zero} .

Bem, visto isso, agora vamos representar cada conjunto pedido por extensão de seus elementos:

a) A = {x ∈ N | x ≤ 4} ---- aqui está informando que o conjunto "A" é o conjunto dos "x" pertencentes aos Naturais, tal que "x" é menor ou igual a 4.
Então, por extensão o conjunto A será este:

A = {0; 1; 2; 3; 4} <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".


b) B = {x ∈ N | 2 < x ≤ 6} ---- aqui está informando que o conjunto "B" é o conjunto dos "x' pertencentes aos Naturais, tal que "x" é maior do que "2" e menor ou igual a "6". Então o conjunto B será:

B = {3; 4; 5; 6} <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".


c) C = {x ∈ Z | -2 ≤ x < 0} ---- aqui está informando que o conjunto C é o conjunto dos "x" pertencentes aos inteiros, tal que "x" é maior ou igual a "-2" e menor do que zero. Então o conjunto C será este:

C = {-2; -1} <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".


d) D = {x ∈ N | x²  - 4x - 5 = 0} ---- aqui está informando que o conjunto D é o conjunto dos "x" pertencentes aos Naturais, tal que: "x²-4x-5 = 0".
Então vamos ver quais são os valores de "x" que fazem com que isto dê igual a zero. Assim:

x² - 4x - 5 = 0 ---- se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

x' =  -1 <--- raiz descartada, pois "-1" não é natural
x'' = 5 <--- raiz válida, pois "5" é natural.

Então, o conjunto D será constituído do único número natural que faz com que x²-4x-5 seja zero. E esse número é o número "5", pois a outra raiz, que também zera a equação dada é o número "-1". Mas "-1" NÃO é natural . Logo, o conjunto D será:

D = {5} <--- Esta é a resposta para a questão do item "d".


e) E = {x ∈ R+ | 2x² + x = 0} ---- aqui está informando que o conjunto "E" é o conjunto dos "x" pertencentes aos Reais não negativos, tal que: 2x²+x = 0.
Então vamos encontrar quais são os números que zeram a equação dada. Assim:

2x² + x = 0 ---- vamos colocar "x" em evidência, ficando assim:

x*(2x + 1) = 0 --- veja que aqui ficamos com o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ---> x' = 0
ou
2x+1 = 0 ---> 2x = - 1 ---> x'' = - 1/2.

Agora veja: está sendo pedido os valores de "x' que pertençam aos Reais não negativos (ou R₊). Note que apenas o zero pertence aos Reais não negativos. O "-1/2", embora seja um número real, mas não é real não negativo (R₊). Portanto o conjunto E será este:

D = {0} <--- Esta é a resposta para a questão do item "e".


f) F = {x ∈ Q | -3x² + 2x = 0} ---- aqui está sendo informado que o conjunto F é o conjunto dos "x" pertencentes aos Racionais, tal que "-3x²+2x = 0". Então vamos encontrar quais são os valores de "x" que fazem com que zere a equação acima. Assim:

-3x² + 2x = 0 --- vamos colocar "x" em evidência, ficando:
x*(-3x + 2) = 0 --- Note que ficamos com o produto de dois fatores na mesma situação da questão anterior. Então:

ou
x = 0 ---> x' = 0

ou
-3x + 2 = 0 ---> - 3x = - 2 ---> 3x = 2 ---> x'' = 2/3

Como os dois números encontrados zeram a equação dada, e como tanto o "0" como o "2/3" são números racionais, então o conjunto F será este:

F = {0; 2/3} <---- Esta é a resposta para a questão do item "f".


É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.