Question

(SAEPE). Qual das equações abaixo representa uma circunferência?
A) x² – y² + 10x + 8y + 5 = 0
B) x² + y² + 10x – 8y + 50 = 0
C) x² + y² – 10x – 8y + 5 = 0
D) x² + y² – 10xy + 50 = 0
E) x² – y² – 7x – 6y + 6 = 0

Answer 1

Resposta:

Alternativa C

Explicação passo-a-passo:

De início, vamos lembrar qual é a equação geral da circunferência: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, onde $C=(a,b)$ é o centro dela, e $r$ é o raio.

Vamos transformar as seguintes equações de modo a verificar se o raio ao quadrado é positivo ou não. Se for positivo, então é um equação da circunferência, senão não. Vamos lá:

a)

$x^2-y^2+10x+8y+5=0\\x^2+10x-(y^2-8y)+5=0\\x^2 + 10x+25-25-(y^2-8y+16-16)+5=0\\(x+5)^2-25-(y^2-8y+16)+16+5=0\\(x+5)^2-25-(y-4)^2+16+5=0\\(x+5)^2-(y-4)^2=4$

Neste caso, o raio ao quadrado ficou positivo, entretanto, a equação ficou da forma $(x-a)^2-(y-b)^2=r^2$ ao invés de $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Logo, ela não é uma equação de circunferência.

b)

$x^2+y^2+10x-8y+50=0\\x^2+10x+y^2-8y+50=0\\x^2 + 10x+25-25+y^2-8y+16-16+50=0\\(x+5)^2-25+(y-4)^2-16+50=0\\(x+5)^2-(y-4)^2=-9$

Como o raio ao quadrado é negativo, não é uma equação da circunferência.

c)

$x^2+y^2-10x-8y+5=0\\x^2-10x+y^2-8y+5=0\\x^2 - 10x+25-25+y^2-8y+16-16+5=0\\(x-5)^2-25+(y-4)^2-16+5=0\\(x+5)^2+(y-4)^2=36$

Que é uma equação da circunferência.

d)

Não pode ser uma equação da circunferência, pois possui o termo $x\cdot y$

e) Pelo menos fato da alternativa A, ela não pode ser uma equação da circunferência.

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