Question

sabendo-se que e a elipse , determine sua equacao cononica e as coordenadas dos seus ; 16x^2+9y^2-224x-144y+1216=0 focos, vertes sua excentricidade agradeco desde ja pela ajuda

Answer 1

A equação reduzida da elipse é dada na forma (x-x₀)²/a² + (y-y₀)²/b² = 1. Temos a equação abaixo:

16x² + 9y² - 224x - 144y + 1216 = 0

Temos que encontrar os produtos notáveis do tipo (x-x₀)² e (y-y₀)², sendo (x₀, y₀) o centro do elipse. Sabendo que (a-b)² = a² - 2ab + b², temos:

16x² - 224x = a² - 2ab

a = 4x

8xb = 224x

b = 28

b² = 784

Logo, temos:

(4x - 28)² + 9y² - 144y + 1216 - 784 = 0

Para y:

9y² - 144y = a² - 2ab

a = 3y

6yb = 144y

b = 24

Logo:

(4x-28)² + (3y - 24)² + 1216 - 784 - 576 = 0

(4x - 28)² + (3y - 24)² = 144

Dividindo a equação por 144, temos:

(4x - 28)²/12² + (3y - 24)²/12² = 1

[(4x - 28)/12]² + [(3y - 24/12)]² = 1

(x - 7)²/3² + (y - 8)²/4² = 1

Logo, encontramos a = 3 e b = 4. Como b > a, os focos estão no eixo y e tem coordenadas (0, c) e (0, -c), onde c é dado por b² = a² + c². Temos:

16 = 9 + c²

c² = 7

c = √7

Os focos são (0, √7) e (0, -√7). A excentricidade da elipse é dada pela razão c/a:

e = √7/3

Os vértices do eixo maior estão a uma distância a e -a do centro, assim como os vértices do eixo menor estão a uma distância b e -b do centro (7, 8). Logo:

Eixo maior (y) = (7, 8 - a) e(7, 8 + a) = (7, 5) e (7, 11)

Eixo menor (x) = (7 - b, 8) e (7 + b, 8) = (3, 8) e (11, 8)