Question

Sabendo-se que a variável y é uma função da variável x, considere a função implícita de x descrita pela expressão a seguir x3+y3=6⋅x⋅y Pode-se então afirmar que o valor da derivada de y em relação a x é dada por

Answer 1

Adote dy/dx quando derivar algum termo contendo y e depois isole-o:

$\displaystyle x^{3}+y^{3}=6xy \\ \\ \\ x^{3}'+y^{3}'=6x'y+6xy' \\ \\ \\ 3x^{2}+3y^{2} \, \frac{dy}{dx} = 6y + 6x \,\frac{dy}{dx} \\ \\ \\ 3y^{2} \, \frac{dy}{dx} - 6x \,\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^{2} \\ \\ \\ \,\frac{dy}{dx}(3y^{2}-6x)=6y-3x^{2} \\ \\ \\ \,\frac{dy}{dx} = \frac{6y-3x^{2}}{3y^{2}-6x} \\ \\ \\ \,\frac{dy}{dx} = \frac{3(2y-x^{2})}{3(y^{2}-2x)} \\ \\ \\ \,\frac{dy}{dx} = \frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}$