Question

Sabendo-se que a soma de dois ângulos é 78 graus e um deles vale 3/5 do complemento do outro, os valores são:

Answer 1

Resposta: $\alpha=18^\circ \ \text{e}\ \beta=60^\circ$

Explicação passo-a-passo:

Vamos chamar esses dois ângulos de $\alpha$ e $\beta$.

A soma dos dois é,

$\alpha+\beta=78^\circ$

"Um deles vale 3/5 do complemento do outro".

Antes de continuar é preciso saber o que é complemento de um ângulo. Dizemos que ângulos complementares são aqueles cuja soma é igual a $90^\circ$. Então, supondo que $\alpha$ vale 3/5 do complemento de $\beta$, temos que descobrir quem é o complemento de $\beta$.

$\beta+\text{complemento de}\ \beta=90^\circ\\\text{complemento de}\ \beta=90^\circ-\beta$

Se  $\alpha$ vale 3/5 do complemento de $\beta$, temos que

$\alpha=\dfrac{3}{5}\cdot\ \text{complemento de}\ \beta\\\\\alpha=\dfrac{3}{5}\cdot\left(90^\circ - \beta\right)\\\\\\\alpha=\dfrac{3\cdot\left(90^\circ - \beta\right)}{5}$

$\alpha=\dfrac{3\cdot90^\circ - 3\cdot\beta}{5}\\\\\\\alpha=\dfrac{270^\circ - 3\beta}{5}\\\\\\5\alpha=270^\circ-3\beta\\5\alpha+3\beta=270^\circ$

Ok. Agora temos duas condições sobre os dois ângulos, a primeira descobrimos lá no início e é dada pelo problema,

$\alpha+\beta=78^\circ$

E agora, esta última equação,

$5\alpha+3\beta=270^\circ$

Basta fazermos um sistema e compararmos as duas equações,

$\left \{ \begin{matrix} \ \ \alpha+\beta=78^\circ \\ 5\alpha+3\beta=270^\circ\end{matrix} \right.$

Vamos multiplicar a primeira equação por $-3$,

$\left \{ \begin{matrix} \ \ -3\left(\alpha+\beta=78^\circ\right) \\ 5\alpha+3\beta=270^\circ\end{matrix} \right\\\\\\\left \{ \begin{matrix} -3\alpha-3\beta=-234^\circ \\ 5\alpha+3\beta=270^\circ\end{matrix} \right.\\\\-3\alpha+5\alpha-3\beta+3\beta=-234^\circ+270^\circ\\2\alpha=36^\circ\\\\\alpha=\dfrac{36^\circ}{2}\\\\\alpha=18^\circ$

Encontramos o valor de $\alpha$. Agora, basta substituirmos em

$\alpha+\beta=78^\circ$

$18^\circ+\beta=78^\circ\\\beta=78^\circ-18^\circ\\\beta=60^\circ$