Question

Sabendo-se que 1 é raiz da equação x³ - 2x² + 5x - 4 = 0, as outras duas raízes são:

A) reais positivas e distintas.
B) reais negativas.
C) reais positivas e iguais.
D) complexas conjugadas.

Answer 1

As relações de Girard relacionam as raízes de um polinômio com os coeficientes do mesmo. Como esse é um polinômio de grau 3 teremos três raízes, que chamarei $x_1, x_2 \ e \ x_3$. As relações de Girard nos dizem que:

$x_1+x_2+x_3= \frac{-b}{a} \\ \\ x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3 = \frac{c}{a} \\ x_1.x_2.x_3 = \frac{-d}{a}$

Enfim, como temos que uma das raízes é $x_1=1$ podemos substituir nas relações acima para tentarmos descobrir as outras raízes. Nesse polinômio temos que a=1, b=-2, c=5 e d=-4. Substituindo nas relações adequadas temos:

$1+x_2+x_3 = \frac{-(-2)}{1} \Rightarrow x_2+x_3=1 \\ \\ 1.x_2.x_3 = \frac{-(-4)}{1} \Rightarrow x_2.x_3 = 4$

Temos a soma e o produto das duas raízes restantes. A partir disso montamos o sistema do 2º grau:

$\left \{ {{x_2+x_3=1} \atop {x_2.x_3=4}} \right.$

Num momento chegamos à equação do segundo grau x² - x + 4 = 0. Calculando o delta vemos que ele é negativo, portanto as outras duas raízes são complexas. Como o polinômio tem coeficientes reais as raízes são conjugadas sim :D

R: d)


Obs: Também poderia ser a partir da fatoração de um polinômio a partir de suas raízes. Chamando o polinômio do enunciado de p(x) e as raízes de $x_1, x_2 \ e \ x_3$ teríamos que

$p(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

Daí tu faria a distribuição, substituiria $x_1=1$ e cairia direto na equação do 2º grau. Nesse ponto o restante é o mesmo: delta negativos, raízes complexas, coeficientes reais, raízes complexas conjugadas.