Question

Sabendo que y>0 e que y=f(x) é uma função dada implicitamente por
2y2+yx=x2.
Então,

a) Determine a derivada da função y=f(x).

b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,f(2)).

Answer 1

Temos a seguinte função:

$2y {}^{2} + y.x = x {}^{2}$

Note que para derivarmos essa função, é necessário derivar implicitamente, ou seja, considerar que o "y" é uma função de "x", isto é, devemos aplicar a regra da cadeia nessa função sempre que derivarmos "y". Derivando ambos os lados da equação:

$\frac{d}{dx} (2y {}^{2} + y.x) = \frac{d}{dx}x {}^{2} \: \: \:$

Como sabemos, a derivada da soma é igual a soma das derivadas, ou seja, podemos meio que fazer uma distributiva para os dois elementos:

$\frac{d}{dx} 2y {}^{2} + \frac{d}{dx}y.x = \frac{d}{dx} x {}^{2} \\ \\ 4y. \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}y.x = 2x \: \: \:$

Note que ali temos o produto de duas funções, ou seja, devemos aplicar a regra do produto, dada por:

$\boxed{\frac{d}{dx} (f(x).g(x)) = \frac{d}{dx} f(x).g(x) + f(x). \frac{d}{dx} g(x)}$

Aplicando a regra na nossa equação:

$4y. \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx} (y).x + y.\frac{d}{dx} x = 2x \\ \\ 4y. \frac{dy}{dx} + x.\frac{dy}{dx} + y.1 = 2x \\ \\ 4y. \frac{dy}{dx} + x. \frac{dy}{dx} = 2x - y \\ \\ \frac{d}{dx} .(4y + x) = 2x - y \\ \\ \boxed{\boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{4y + x} }}$

Essa é a derivada daquela equação. Agora a partir dessa derivada vamos encontrar a equação da reta tangente. A questão nos diz que essa reta passa pelo ponto P(2,f(2). Para descobrir o valor da ordenada (y), basta substituir o valor de "x" naquela equação inicial:

$2y {}^{2} + y.x = x {}^{2} \\ 2y {}^{2} + y.2 = 2 {}^{2} \\ 2y {}^{2} + 2y = 4 \: \: \\ y {}^{2} + y = 2$

Agora basta resolver essa equação do segundo grau e encontrar alguns valores para "y":

$y {}^{2} + y- 2 = 0 \longrightarrow \begin{cases}y_{1} = 1 \\ y_{2} = - 2 \end{cases}$

Observe pelo enunciado, a questão diz que y > 0, ou seja, devemos relevar o resultado negativo, ficando apenas com y = 1. Logo o ponto em que a reta tangente passa, é dada por P(2,1).

Pronto, agora devemos encontrar um valor numérico para o dy/dx, pois como sabemos a derivada é justamente o coeficiente angular da reta tangente, para encontrar esse valor numérico, basta substituir o valor de x e y do ponto em que a reta tangente passa:

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x- y}{4y + x} \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2.2 -1 }{4.1 + 2} \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{6} \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$

Esse é o coeficiente angular da reta tangente, que também pode se chamando de "m". Com essas informações, agora basta substituir cada uma delas na fórmula da equação fundamental da reta:

$P(2,1)\longrightarrow m = 1/2 \\ y-y_0=m.(x-x_0) \\ y - 1 = \frac{1}{2} .(x - 2) \: \: \: \: \: \\ y - 1 = \frac{x}{2} - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ y = \frac{x}{2} - 1 + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{\boxed{ y = \frac{x}{2} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado