Question

Sabendo que y=f(x)é definida pela equação x³+y³−9xy=0 , é correto afirmar que:

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar de algumas propriedades de geometria analítica e derivadas.

Temos que $y$ é função de $x$, definida pela equação $x^3+y^3-9xy=0$

a) O ponto $(2,~4)$ pertence a esta equação.

Substituindo $x=2$ e $y=4$, teremos

$2^3+4^2-9\cdot 2\cdot 4$

Calcule as potências e multiplique os valores

$8+64-72$

Some os valores

$0$

Dessa forma, afirma-se que o ponto $(2,~4)$ pertence à equação.

b) A equação da reta tangente à curva em $x=2$ é dada por $y=\dfrac{4}{5}\cdot x-\dfrac{12}{5}$

Para isso, podemos utilizar a equação do feixe de retas e alguns conceitos de derivadas.

Estudamos que a equação das retas que passam pelos pontos $(x_0,~y_0)$ e são tangentes às curvas definidas pela função $y=f(x)$ tem a forma:

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)$, tal que $f'(x_0)$ é a derivada da função no ponto $x_0$.

Para derivarmos esta função lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de um produto de funções é calculada pela regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)$.
• A derivada de $y$ em relação a $x$ deve ser escrita como $\dfrac{dy}{dx}$, pela regra da cadeia, pois se trata de uma derivada implícita.

Derivando ambos os lados da equação, temos:

$(x^3+y^3-9xy)'=0'$

Aplique a regra da soma e a regra da constante

$(x^3)'+(y^3)'-(9xy)'=0$

Aplique a regra da potência, da cadeia e do produto

$3\cdot x^2+3\cdot y^2\cdot \dfrac{dy}{dx}-9\cdot y-9\cdot x\cdot \dfrac{dy}{dx}=0$

Somando os termos semelhantes

$3x^2-9y+(3y^2+9x)\cdot\dfrac{dy}{dx}=0$

Isole $\dfrac{dy}{dx}$

$(3y^2-9x)\cdot \dfrac{dy}{dx}=9y-3x^2\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{9y-3x^2}{3y^2-9x}$

Substituindo as coordenadas do ponto $x=2$, sabendo que $f(2) = 4$, como foi visto anteriormente, temos:

$\dfrac{dy}{dx}(2, 4)=\dfrac{9\cdot 4-3\cdot 2^2}{3\cdot 4^2-9\cdot 2}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\dfrac{dy}{dx}(2, 4)=\dfrac{9\cdot 4-3\cdot 4}{3\cdot 16-9\cdot 2}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}(2, 4)=\dfrac{36-12}{48-18}$

Some os valores

$\dfrac{dy}{dx}(2, 4)=\dfrac{24}{30}$

Simplifique a fração

$\dfrac{dy}{dx}(2, 4)=\dfrac{4}{5}$

Substituindo este valor como $f'(x_0)$ na equação do feixe de retas, temos:

$f(x)=4+\dfrac{4}{5}\cdot(x-2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$f(x)=4+\dfrac{4}{5}\cdot x-\dfrac{8}{5}$

Somando as frações, temos

$f(x)=\dfrac{4}{5}\cdot x+\dfrac{4\cdot 5-8}{5}\\\\\\ f(x)=\dfrac{4}{5}\cdot x+\dfrac{20-8}{5}\\\\\\ f(x)=\dfrac{4}{5}\cdot x+\dfrac{12}{5}$

Esta é a equação da reta tangente à curva no ponto $x=2$.

c) A equação da reta perpendicular é dada por: $f(x)=f(x_0)-\dfrac{1}{\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}\cdot (x-x_0)$

Neste caso, teremos:

$f(x)=4-\dfrac{1}{\left(\dfrac{4}{5}\right)}\cdot (x-2)$

Calcule a fração de frações

$f(x)=4-\dfrac{5}{4}\cdot (x-2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$f(x)=4-\dfrac{5}{4}\cdot x+\dfrac{5}{2}$

Some as frações

$f(x)=-\dfrac{5}{4}\cdot x+\dfrac{4\cdot 2+5}{2}\\\\\\ f(x)=-\dfrac{5}{4}\cdot x+\dfrac{8+5}{2}\\\\\\ f(x)=-\dfrac{5}{4}\cdot x+\dfrac{13}{2}$

Esta é a equação da reta normal (ou perpendicular) à reta tangente à curva no ponto $x=2$

d) A derivada de $y=f(x)$ em $x=2$ é $\dfrac{dy}{dx}(2,~4)=\dfrac{4}{5}$

Este resultado já foi calculado anteriormente.

Então, nossa resposta será:

Estão corretas somente as alternativas a), c) e d).