Question

Sabendo que x²-2x+4/x³+x²-2x = A/x +B/x+2 + C/x-1, assinale A+B+2C

Answer 1

Primeiro, vamos realizar juntar a segunda parte da equação da seguinte forma:

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-1} = \frac{A(x^2+x-2)+B(x^2-x)+C(x^2+2x)}{x^3+x^2-2x}\\ =\frac{x^2(A+B+C)+x(A-B+2C)-2A}{x^3+x^2-2x}$

Com isso, um sistema de 3 incógnitas e 3 equações para resolver esse sistema que é montado igualando a parte inicial com o que encontramos, ou seja:

$x^2-2x+4=x^2(A+B+C)+x(A-B+2C)-2A\\ \left \{ {{A+B+C=1} \atop {A-B+2C=-2}} \right. \\ -2A=4 =\ \textgreater \ A=-2\\ \\ =\ \textgreater \ \left \{ {{-2+B+C=1} \atop {-2-B+2C=-2}} \right.= \left \{ {{B+C=3} \atop {-B+2C=0}}=\left \{ {{B+C=3} \atop {2C=B}}=2C+C=3=\ \textgreater \ C=1$
$2C=B =\ \textgreater \ B=2$

Encontrado os valores de A, B e C, vamos calcular o que foi pedido:

$A+B+2C=-2+2+2(1)=2$