Question

Sabendo que x-y + (x^6-y^3)i =2i, determine os números reais x e y

Answer 1

Se dois números complexos são iguais, podemos dizer que as partes reais desses números são iguais entre si. O mesmo se pode afirmar a respeito das partes imaginárias desses complexos. Desse modo:

$\underbrace{(x-y)}_{parte~real}+\underbrace{(x^6-y^3)i}_{parte~imag.}=\underbrace{0}_{parte~real}+\underbrace{2i}_{parte~imag.}\\\\\\\ \bullet~(x-y)=0\Longrightarrow x=y~~~(i)\\\\ \bullet~(x^6-y^3)=2~~~(ii)$

Usando (ii) em (i):

$(x^6-y^3)=2\\\\ x^6-x^3=2\\\\ x^6-x^3-2=0$

Vamos fazer uma substituição para podermos visualizar melhor a equação. Seja $z=x^3$. Aplicando na equação acima:

$x^6-x^3-2=0\\\\ (x^3)^2-x^3-2=0\\\\ z^2-z-2=0\\\\\\ \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=1+8\\\\ \Delta=9\\\\\\ z=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt9}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm3}{2}\\\\ z=\dfrac{1+3}{2}~~ou~~z=\dfrac{1-3}{2}\\\\ ~~~~~~z=\dfrac{4}{2}~~ou~~z=\dfrac{-2}{2}\\\\ ~~~~~~~z=2~~ou~~z=-1$

Voltando à variável x:

→ Para z=2:

$x^3=2\Longrightarrow x=\sqrt[3]{2}$

→ Para z=-1:

$x^3=-1\Longrightarrow x=\sqrt[3]{-1}\Longrightarrow x=-1$

Como x=y, as soluções são:

$\boxed{x_1=\sqrt[3]{2},~y_1=\sqrt[3]{2}}\\\\ \boxed{x_2=-1,~y_2=-1}$