Question

Sabendo que x E [0,2pi] e 2 cos^2x= 3-3 senx, determine:
a) possíveis valores de senx
b) possíveis valores de x

Answer 1

$2cos^{2}x=3-3sen~x~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{cos^{2}x=\dfrac{3-3sen~x}{2}}}$
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a)

Relação fundamental da trigonometria: sen²x + cos²x = 1

$sen^{2}x+cos^{2}x=1$

Como cos²x = (3 - 3sen x) / 2:

$sen^{2}x+\dfrac{3-3sen~x}{2}=1$

Multiplicando todos os membros por 2:

$2sen^{2}x+\dfrac{2(3-3sen~x)}{2}=2*1\\\\2sen^{2}x+3-3sen~x=2\\2(sen~x)^{2}-3(sen~x)+3-2=0\\2(sen~x)^{2}-3(sen~x)+1=0$

É uma equação do segundo grau com variável 'sen x'. Resolvendo:

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-3)^{2}-4*2*1\\\Delta=9-8\\\Delta=1\\\\sen~x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}~~~\therefore~~~\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2*2}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{sen~x=\dfrac{3\pm1}{4}}}$

Achando as raízes:

$(sen~x)'=\dfrac{3+1}{4}=1\\\\\\(sen~x)''=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}$

Valores possíveis pra sen x: 1 e 1/2
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b)

Para sen x igual a 1:

O ângulo está entre 0º e 360º (2π). O ângulo nesse intervalo cujo seno vale 1 é o 90º

Em radianos:

$90\º=90\º*\dfrac{\pi}{180\º}~rad~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{\dfrac{\pi}{2}~rad}}$

Para sen x igual a 1/2:

Conhecemos o ângulo do primeiro quadrante cujo seno vale 1/2, é o 30º
No segundo quadrante, temos o 180º - 30º = 150º

Passando os ângulos pra radianos:

$30\º=30\º*\dfrac{\pi}{180\º}~rad~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{\dfrac{\pi}{6}~rad}}\\\\\\150\º=150\º*\dfrac{\pi}{180\º}~rad~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{\dfrac{5\pi}{6}~rad}}$

Conjunto verdade:

$V=\{\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{5\pi}{6}\}$