Question

sabendo que uma das raízes do polinômio P(x)=12x⁴+5x³+10x²+5x-2 é o número complexo i, determine as demais raízes desse polinômio.

Answer 1

Quando a unidade imaginária (i) é raiz do polinômio, seu oposto (sinal inverso : -i) também é raíz.

Raiz : P(x) = 0
P(x) = 12 * x⁴ + 5 * x³ + 10 * x² + 5 * x - 2 ⇒ Este polinômio tem quatro raízes !

Usando o algoritmo de Briot - Ruffini, dividimos o polinômio por suas duas raízes conhecidas (i e -i) :

(12x⁴ + 5x³ + 10x² + 5x - 2)  / (i) ⇒

(i) | 12 | 5 | 10 | 5 | -2 ⇒ 
| 12 | (12 * i + 5) | (5 * i - 2) | (-2 * i) | 0 

Logo, chegamos em 12 * x³ + (12 * i + 5) * x² + (5 * i - 2) * x + (-2 * i) ... nesse polinômio continuamos a divisão, só agora com -i :

Por Briot - Ruffini novamente :

(12 * x³ + (12 * i + 5) * x² + (5 * i - 2) * x -2 * i) / (-i) ⇒

(-i) | 12 | (12 * i + 5) | (5 * i-2) | -2*i ⇒  
| 12 | 5 | -2 | 0   ⇒
Logo, chegamos em 12 * x² + 5 * x -2...

Aplicando Bháskara :

12 * x² + 5 * x -2 = 0
(a = 12, b = 5, c = -2)

Δ = b² - 4 * a * c
Δ = 5² - 4 * 12 * - 2
Δ = 25 - (96)
Δ = 25 + 96
Δ = 121

x' | x'' = (-b +- √Δ) / (2 * a)
x' | x'' = (-5 +- √121) / (2 * 12)
x' | x'' = (-5 +- 11) / 24

Daí, tiramos :

x' = (-5 -11) / 24
x' = -16 / 24 → Simplificando :
x' = -2 / 3

x'' = (-5 + 11) / 24
x'' = 6 / 24 → Simplificando :
x'' = 1 / 4

Logo, a solução desse polinômio (as suas raízes) são :

S = {-i; i; 1 / 4; 2 / 3} ⇒ Raízes do polinômio !

Por dificuldades técnicas, eu não consegui desenvolver plenamente aqui o Briot - Ruffini (explicando passo a passo). Mas qualquer dúvida, pode perguntar !