Question

Sabendo que um triângulo retângulo os ângulos
agudos são A e B, a hipotenusa mede 5cm e sen
B = 2sen A, encontre as medidas dos catetos.


2. Dado um triângulo ABC onde c =v2, o ângulo
A = 60° e C= 45°. Calcule os lado a e b.


3. Calcular a altura de um poste visto sob um ângulo
de 60° por um observador com 1,80m de altura
que se encontra a 10m do poste.


4. Uma rampa lisa de 20 m de comprimento faz um
ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma
pessoa que sobe essa rampa inteira.se eleva
verticalmente de quanto?​

Answer 1

Resposta:

1) Os catetos medem [AC] = 2 √5     [BC] = √5  

2) a = √3   b = (√6 + √2 ) / 2

3) altura do poste =  15,5 m

4) Eleva-se 10 m

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

1) Sabendo que um triângulo retângulo os ângulos agudos são A e B, a hipotenusa mede 5 cm e sen B = 2 sen A, encontre as medidas dos catetos.

2) Dado um triângulo ABC onde c =v2, o ângulo  A = 60° e C= 45°.

Calcule os lado "a" e "b".

3 ) Calcular a altura de um poste visto sob um ângulo  de 60° por um observador com 1,80 m de altura  que se encontra a 10 m do poste.

4. Uma rampa lisa de 20 m de comprimento faz um  ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma  pessoa que sobe essa rampa inteira.se eleva verticalmente de quanto?​

Resolução:  

1)

Sabemos que os ângulos agudos são A e B , logo o triângulo é retângulo no vértice C.  

Os catetos serão:  

[AC] oposto a ângulo B  

[BC] oposto a ângulo A  

Construir um sistema com os dados que temos :

sen B = [AC] / 5  

sen A = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

5^2 = [AC] ² + [BC] ²

1ª e 2ª equações multiplicar ambos os membros por 5 para cancelar  

denominador 5  

⇔  

5*sen B = ( [AC] * 5) / 5  

5 *sen A = ( [BC] * 5) / 5  

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

⇔  

substituir na 1ª equação sen B por 2 sen A  

5*2 sen A = [AC]  

5 *sen A = [BC]  

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

Dividir os dois membros da 1ª equação por 10  

Dividir os dois membros da 2ª equação por 5  

⇔  

(10*sen A) / 10 = [AC] /10  

(5 *sen A)/5 = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²  

⇔  

senA = [AC] /10  

sen A = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

sen A = [AC] / 10 e sen A = [BC] / 5 então [AC] / 10 = [BC] / 5  

Substituir a 1ª equação por esta agora encontrada  

[AC] / 10 = [BC] / 5  

sen A = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

na 1ª equação fazer produto cruzado  

⇔  

5 * [AC] = 10 * [BC]  

sen A = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²  

na 1ª equação dividir ambos os membros por 5  

⇔  

(5 * [AC] ) / 5 = (10 * [BC] ) / 5  

sen A = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

25 = [AC] ² + [BC] ²

⇔  

Substituir o valor encontrado de [AC] , na 4ª equação  

[AC] = 2 [BC]  

sen A = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

25 = ( 2* [BC] ) ² + [BC] ²

resolver 4ª equação  

⇔  

[AC] = 2 [BC]  

sen A = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

25 = 4* [BC] ² + [BC] ²  

⇔  

[AC] = 2 [BC]  

sen A = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

25 = 5* [BC] ²

Na 4ª equação dividir tudo por 5  

⇔  

[AC] = 2 * [BC]  

sen A = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

5 = [BC] ²

⇔  

[AC] = 2 * [BC]  

sen A = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

+ √5 = [BC] ∨ - √5 = [BC] ( descartar a solução negativa)

Substituir o valor encontrado de [BC] , na 1ª equação  

[AC] = 2 √5  

sen A = [BC] / 5  

sen B = 2 sen A  

[BC] = √5

Dimensões dos catetos:  

[AC] = 2 √5  

[BC] = √5  

2.

Cálculo de lado “a”

Usando a lei dos senos

sen 45 º / √2 = sen 60 º / a

⇔

( √2 / 2 ) / ( √2 / 1 ) = ( √3 / 2 ) / ( a / 1 )

⇔

√2 / (2 √2)  = √3 / 2a  

⇔

no primeiro membro o √2 cancela-se

½  = √3 / 2a  

Produto cruzado

2a= 2 √3

dividindo tudo por 2, cancela o 2 nos dois membros da equação

a = √3

Cálculo de lado “b”

Ângulo B = 180 – 45 – 60 = 75 º

Usando a Lei dos Senos

sen 45 º / √2 = sen 75º / b

Cálculo Auxiliar:

Para calcular sen 75º vou aplicar a fórmula do seno da soma de dois ângulos.

Escolho 45º e 30º  porque , além de sua soma dar 75º, os valores exatos de funções trigonométricas destes dois ângulos são conhecidas.

sen(a + b) = sen a * cos b + sen b * cos a  

sen75° = sen (45° + 30°) = sen 45° * cos 30° + sen 30° * cos 45°

⇔

sen75° =√2 / 2  * √3/ 2 +  ½  * √2 / 2

⇔              

sen75° = √(2 * 3) / 4 + √2 / 4

⇔              

sen75° = ( √6 + √2 ) / 4

Continuando a resolução:

sen 45 º / √2 = sen 75º / b

⇔

( √2 / 2 ) / ( √2 / 1 ) = ( (√6 + √2 ) / 4 ) / ( b / 1 )

⇔

( √2 / 2 ) * ( 1 / √2 ) = ( (√6 + √2 ) / 4 ) * ( 1 / b )

⇔

√2  * ( 2 / √2 ) = ( (√6 + √2 ) / 4 ) * ( 1 / b )

No primeiro membro  cancela-se √2

½  = (√6 + √2 ) / 4 b

produto cruzado  

1 * 4b = 2 * (√6 + √2 )

⇔

dividindo tudo por 4

4b / 4 = (2 * (√6 + √2 )) / 4

⇔  

b = (√6 + √2 ) / 2                              

3.

Usando as funções trigonométricas num triângulo retângulo

X =  altura do poste    ( cateto oposto)

distância do observador ao poste  10 m  ( cateto adjacente)

α = 60 º

tg α = cat oposto / cat adjacente

tg 60º = x / 10

⇔  

\/3 = x / 10

⇔  

Multiplicando tudo por 10

10 * \/3 = 10 * (x / 10)

⇔  

x = 10 * \/3

⇔  

x ≈ 10 * 1,73

⇔  

x ≈ 17,3 m (altura do poste)

Mas à altura do poste tem que se retirar a altura do homem.

17,3 - 1,8 ≈ 15,5 m  altura do poste

4.

Temos um triângulo retângulo onde sabemos o valor da hipotenusa (rampa de 20 m ) e queremos saber o valor do cateto oposto ao ângulo ( altura = que é o que se vai elevar). Com isso, podemos usar a função trigonométrica seno:

sen 30 º = cateto oposto / hipotenusa

sen 30 º = altura / 20

1 / 2 = altura / 20

produto cruzado

20 = 2 * altura  ⇔    altura = 20/2    ⇔   altura = 10m

Sinais : ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( ⇔ ) equivalente a  

Espero ter ajudado bem.  

*****************************  

Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.  

Bom estudo e um bom dia para si.