Question

Sabendo que um plano possui equação vetorial P = (0,1,2) + (3,1,2)t + (1,2,1)s, determine a equação geral deste plano.

Answer 1

(x,y,z) = (0,1,2) + (3,1,2)t + (1,2,1)s
(x,y-1,z-2)=(3t+s, t+2s, 2t+s)
tiramos
i)3t+s=x => s =x-3t
ii)t+2s=y-1
iii)2t+s=z-2

substitui i em  ii
t+2(x-3t)=y-1 => 2x-5t =y-1 (iv)
substitui i em  iii
2t+x-3t=z-2 => x-t =z-2 => t = -z+2+x (v)

substitui iv em v
 2x-5(-z+2+x)=y-1
2x+5z-10-5x=y-1
-3x +5z-y-9 =0

---------------------
3x+y-5z+9=0
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Answer 2

Podemos resolver da seguinte maneira:

Numa equação de plano da forma $\alpha:~~ax+by+cz+d=0$, temos que $(a,b,c)$ é um vetor normal ao plano. Sabendo disso, vamos encontrar um vetor normal ao plano. Uma possibilidade é calcular o produto vetorial dos vetores que são fazem combinação linear na equação do plano. No caso, são os vetores (3,1,2) e (1,2,1). Calculando o produto vetorial:

$\vec n=(3,1,2)\times(1,2,1)=\left|\begin{matrix}\vec i&&\vec j&&\vec k\\3&&1&&2\\1&&2&&1\end{matrix}\right|\\\\ \vec n=(1\cdot1-2\cdot2)\vec i+(2\cdot1-3\cdot1)\vec j+(3\cdot2-1\cdot1)\vec k\\\\ \vec n=(-3,-1,5)$

Logo, a equação do plano que queremos é da forma $-3x-y+5z+d=0$. Para encontrarmos o valor de d, basta usarmos o ponto (0,1,2) pertencente ao plano dado na equação vetorial:

$\alpha:~~-3x-y+5z+d=0\\\\ (0,1,2)\in\alpha:\\\\ -3\cdot0-1\cdot1+5\cdot2+d=0\\\\ 0-1+10+d=0\\\\ \Longrightarrow d=-9$

Portanto, a equação que queremos do plano é:

$\boxed{\alpha:~~-3x-y+5z-9=0}$