Question

Sabendo que tg x = -2, com 90° < x < 180°, qual o valor do sem x e cos x?

Answer 1

Se "x" está no 2° quadrante (entre 90° e 180°), então podemos afirmar que o sen(x) terá valor positivo e cos(x) terá valor negativo.

Sendo assim, vamos calcular o valor do sen(x) e cos(x) sem nos preocuparmos com o sinal, ou seja, vamos calcular o modulo de sen(x) e cos(x).

Para isso, vamos utilizar a relação entre tg, sen e cos tg(x)=sen(x)/cos(x) e, também, a identidade trigonométrica (sen(x)+cos(x)=1):

$tg(x)~=~\frac{sen(x)}{cos(x)}\\\\\\Elevando~os~dois~lados~da~equacao~ao~quadrado:\\\\\\tg^2(x)~=~\frac{sen^2(x)}{cos^2(x)}\\\\\\Reescrevendo~cos^2(x)~utilizando~a~identidade~trigonometrica\\sen^2(x)+cos^2(x)=1~~\rightarrow~~\boxed{cos^2(x)~=~1-sen^2(x)}\\Substituindo~na~equacao:\\\\\\tg^2(x)~=~\frac{sen^2(x)}{1-sen^2(x)}$

$Substituindo~o~valor~de~tg(x)~dado~no~enunciado:\\\\\\(-2)^2~=~\frac{sen^2(x)}{1-sen^2(x)}\\\\\\4~.~(1-sen^2(x))~=~sen^2(x)\\\\\\4-4sen^2(x)~=~sen^2(x)\\\\\\5sen^2(x)~=~4\\\\\\sen^2(x)~=~\frac{4}{5}\\\\\\sen(x)~=~\sqrt{\frac{4}{5}}\\\\\\sen(x)~=~\frac{2}{\sqrt{5}}~.~\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\\\\boxed{sen(x)~=~\frac{2\sqrt{5}}{5}}$

$Utilizando~novamente~a~identidade~trigonometrica~para~achar~cos(x):\\\\\\sen^2(x)+cos^2(x)~=~1\\\\\\\frac{4}{5}+cos^2(x)~=~1\\\\\\cos^2(x)~=~\frac{1}{5}\\\\\\cos(x)~=~\frac{1}{\sqrt{5}}~.~\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\\\\boxed{cos(x)~=~\frac{\sqrt{5}}{5}}$

Com os valores dos módulos de sen(x) e cos(x), basta agora acrescentar o sinal correspondente de cada um.

$Resposta:~~\left\begin{array}{ccc}sen(x)&=&\frac{2\sqrt{5}}{5}\\\\cos(x)&=&-\frac{\sqrt{5}}{5}\end{array}\right$