Question

Sabendo que tg(x) = 2√3
e x-y= π/3, podemos afirmar que tg(y) é igual a:

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Answer 1

Resposta:

$\tan y=\frac{\sqrt{3}}{7}$

Explicação passo-a-passo:

Da 2º equação tiramos que $x=y+\pi/3$, logo $\tan(x)=\tan(y+\pi/3)=2\sqrt{3}$. A tangente da soma entre dois ângulos é dada pela seguinte fórmula:

$\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

Substituindo os valores:

$\tan\left(y+\pi/3 \right)=\frac{\tan y+\tan \pi/3}{1-\tan y\tan \pi/3}=2\sqrt{3}$

$\frac{\tan y+\sqrt{3}}{1-\tan y\cdot\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$

$\tan y+\sqrt{3}=2\sqrt{3}(1-\tan y\cdot\sqrt{3})$

$\tan y+\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\tan y\cdot\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}$

$\tan y+\sqrt{3}=2\sqrt{3}-6\tan y$

$7\tan y=\sqrt{3}$

$\tan y=\frac{\sqrt{3}}{7}$

Answer 2

$tan(x) = 2\sqrt{3}\\arctan(2\sqrt{3}) = x\\x - y = \frac{\pi }{3}\\-y = \frac{\pi }{3} - arctan(2\sqrt{3})\\y = arctan(2\sqrt{3}) - \frac{\pi }{3}$

Portanto, queremos o resultado de $tan(arctan(2\sqrt{3}) - \frac{\pi }{3})$.

Vamos precisar das seguintes identidades:

i) $tan(x_{0} - x_{1}) = \frac{tan(x_{0}) - tan(x_{1})}{1+tan(x_{0})tan(x_{1})}$

ii) $tan(arctan(x)) = x$

Vamos usar a identidade i.

$x_{0} = arctan(2\sqrt{3})\\x_{1} = \frac{\pi}{3}$

$tan(x_{0} - x_{1}) = \frac{tan(x_{0}) - tan(x_{1})}{1+tan(x_{0})tan(x_{1})}\\tan(arctan(2\sqrt{3})-\frac{\pi }{3} ) = \frac{tan(arctan(2\sqrt{3})) - tan(\frac{\pi }{3})}{1+tan(arctan(2\sqrt{3}))tan(\frac{\pi }{3})}$

Temos alguns fatores triviais:

$tan(\frac{\pi }{3}) = \sqrt{3} \\tan(arctan(2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

Portanto, temos:

$tan(arctan(2\sqrt{3})-\frac{\pi }{3} ) = \frac{ 2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}\sqrt{3} } = \frac{ 2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{7 } = \frac{(2 - 1)\sqrt{3} }{7} = \frac{\sqrt{3} }{7}$