Question

Sabendo que tg(x)=1/2 e x pertence ao primeiro quadrante, qual o valor do cós (x)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Tatianacosta, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Sabendo-se que tan(x) = 1/2 e que "x" pertence ao primeiro quadrante, calcule o valor de cos(x).

ii) Veja: no 1º quadrante todas as funções trigonométricas são positivas.
Então, sabendo disso, vamos procurar responder a questão proposta.
Calcule o valor de cos(x) sabendo-se que:

tan(x) = 1/2 ------ veja que tan(x) = sen(x)/cos(x). Assim, teremos:

sen(x)/cos(x) = 1/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
sen(x) = (1/2)*cos(x) ---- ou, o que é a mesma coisa;
sen(x) = 1*cos(x)/2 ---- ou apenas:
sen(x)= cos(x) / 2      . (I)

iii) Agora vamos aplicar a primeira relação fundamental da trigonometria, sgundo a qual temos que:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se sen(x) por cos(x) / 2, conforme vimos na expressão (I) acima, teremos;

[cos(x) / 2]² + cos²(x) = 1 ---- desenvolvendo, temos;
cos²(x) / 4 + cos²(x) = 1 ---- mmc, no 1º membro, é igual a "4". Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

[1*cos²(x) + 4*cos²(x)]/4 = 1 ---- desenvolvendo, ficamos:
[cos²(x) + 4cos²(x)]/4 = 1 ----- efetuando a soma indicada no 1º membro, temos:

5cos²(x) / 4 = 1 ---- multiplicando-se em cruz, temos:
5cos²(x) = 4*1
5cos²(x) = 4
cos²(x) = 4/5 ----- isolando "cos(x)", teremos:
cos(x) =  ± √(4/5) ----- note que isto é a mesma coisa que:
cos(x) =   ± √(4) / √(5) ---- como √(4) = 2, ficaremos:
cos(x) =  ± 2 / √(5) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(5). Então, fazendo isso, teremos:

cos(x) =  ± 2*√(5) / √(5)*√(5) ---- desenvolvendo, temos:
cos(x) =  ± 2√(5) / √(5*5) ---- continuando o desenvolvimento, temos:
cos(x) =  ± 2√(5) / √(25) ---- como √(25) = 5, teremos:
cos(x( =  ± 2√(5) / 5 ---- mas como o arco "x" é do 1º quadrante, e considerando que no 1º quadrante todas as funções trigonométricas são positivas, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

cos(x) = 2√(5) / 5  <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor pedido de cos(x), sabendo-se que tan(x)= 1/2 e que "x" é do 1º quadrante.

Bem, a resposta já está dada. Mas se você quisesse, apenas por mera curiosidade, saber quais seriam todas as outras funções trigonométricas do 1º quadrante, a partir do que já temos [tan(x) = 1/2 e cos(x) = 2√(5) / 5], então bastaria fazer:

tan(x) = sen(x)/cos(x) --- substituindo-se tan(x) por "1/2" e cos(x) por "2√(5) / 5", teremos:

1/2 = sen(x)/2√(5) / 5 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
1*2√(5) / 5 = 2*sen(x) ---- ou apenas, o que é a mesma coisa:
2sen(x) = 2√(5) / 5 ----- multiplicando-se novamente em cruz, temos:
5*2sen(x) = 2√(5) ---- desenvolvendo, temos:
10sen(x) = 2√(5) ---- isolando sen(x), temos:
sen(x) = 2√(5) / 10 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", temos:
sen(x) = √(5) / 5 <--- Este seria o valor de sen(x).

Agora, que já temos que sen(x) = √(5) / 5; cos(x) = 2√(5) / 5 e tan(x) = 1/2, vamos encontrar o valor de cot(x), que é dada por;

cot(x) = cos(x)/sen(x) ----- substituindo-se sen(x) e cos(x) por seus valores, temos:
cot(x) = [2√(5) / 5] / [√(5) / 5] ------ resolvendo esta divisão de frações, temos:
cot(x) = [2√(5) / 5 ]* [5/√(5)] ---- efetuando este produto temos;
cot(x) = 2√(5)*5 / 5*√(5) ---- desenvolvendo temos:
cot(x) = 10√(5) / 5√(5) ---- simplificando-se numerador e denominador por 5√(5) iremos ficar apenas com:

cot(x) = 2 <--- Este é o valor de cot(x).

E para saber o valor de sec(x) basta sabermos que:

sec(x) = 1/cos(x) ----- substituindo-se cos(x) por seu valor, teremos;
sec(x) = 1 / [2√(5) / 5] --- note que isto é a mesma coisa que;
sec(x) = 5 / 2√(5) ---- para racionalizar multiplicaremos numerador e denominador por √(5). Então, fazendo isso, teremos;

sec(x) = 5*√(5) / 2√(5)*√(5)
sec(x) = 5√(5) / 2√(5*5)
sec(x) = 5√(5) / 2√(25) ---- como √(25) = 5, teremos:
sec(x) = 5√(5) / 2*5
sec(x) = 5√(5) / 10 ---- simplificando-se numerador e denominador por "5", temos:
sec(x) = √(5) / 2 <--- Este é o valor de sec(x).

Finalmente, para encontrar o valor de cossecante de (x), basta saber que;

csc(x) = 1/sen(x) ---- substituindo-se sen(x) por seu valor, teremos;
csc(x) = 1 / [√(5) / 5] ---- note que isto é a mesma coisa que:
csc(x) = 5 / √(5) --- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(5). Fazendo isso, teremos;

csc(x) = 5*√(5) / √(5)*√(5) ---- desenvolvendo, temos:
 csc(x) = 5√(5) / √(5*5)
csc(x) = 5√(5) = √(25) ---- como √(25) = 5, teremos:
csc(x) = 5√(5) / 5 ---- simplificando-se numerador e denominador por "5", iremos ficar apenas com:

csc(x) = √(5).

Assim, resumindo, teríamos que todas as funções trigonométricas do 1º quadrante, encontradas (todas elas) a partir do que já tínhamos, seriam estas:

tan(x) = 1/2
cot(x) = 2
sen(x) = √(5) / 5
cos(x) = 2√(5) / 5
sec(x) = √(5) / 2
csc(x) = √(5).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.