Question

sabendo que
$\frac{2x + 5y}{ 7 } = \frac{4x + 7y}{5}$
calcule os valores de
$\frac{2xy}{ {x}^{2} - xy + {y}^{2} } =$

Answer 1

È nos dado as seguintes expressões:

1º  $\dfrac{2x+5y}{7}=\dfrac{4x+7y}{5}$

2º $\dfrac{2xy}{x^2-xy+y^2}$

Pede-se o valor da segunda expressão. Para isso, vamos isolar uma das incógnitas, por exemplo o x da  1º expressão e substituir na 2º expressão. Então,

$10x+25y=28x+49y\\ \\ 18x+24y=0\\ \\ ~~~~~~~~~~18x=-24y\\ \\ ~~~~~~~~~~~~~x=-\dfrac{24}{18}y=-\dfrac{4}{3}y\\ \\ \\ =\dfrac{2(-\dfrac{4}{3}y)y}{(-\dfrac{4}{3}y)^2-(-\dfrac{4}{3}y)y+y^2} \\\\\\  =\frac{-\dfrac{8}{3}y^2}{\dfrac{16}{9}y^2+\dfrac{4}{3}y^2+y^2  } \\ \\ \\ =\frac{\dfrac{8}{3} y^2}{\dfrac{16y^2+12y^2+9y^2}{9} } \\ \\ \\ =-\dfrac{8}{3} y^2.\dfrac{9}{37y^2} \\ \\ \\ \boxed{=-\dfrac{24}{37} }~~\checkmark$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Dhyka, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: sabendo-se que (2x+5y)/7 = (4x+7y)/5, determine o valor da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "k" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

k = (2xy) / (x²-xy+y²)    . (I).

ii) Bem, inicialmente vamos trabalhar com a igualdade dada anteriormente, que era esta:

(2x+5y)/7 = (4x+7y)/5 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

5*(2x+5y) = 7*(4x+7y) --- efetuando os produtos indicados nos 2 membros, teremos:

10x + 25y = 28x + 49y ---- passando "28x" para o 1º membro e passando "25y" para o 2º membro, iremos ficar assim:

10x - 28x = 49y - 25y ---- reduzindo os termos semelhantes nos 2 membros, teremos:

- 18x = 24y ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:

18x = - 24y ----- isolando "x", teremos:

x = -24y / 18 ----- simplificando-se numerador e denominador por "6", ficaremos apenas com:

x = -4y/3 <--- Este é o valor de "x".

iii) Agora vamos encontrar o valor da nossa expressão "k", que está lá na expressão (I), que é esta:

k = (2xy) / (x² - xy + y²) ----- substituindo-se "x" por "-4y/3", conforme encontramos acima, teremos:

k = (2*(-4y/3)*y) / ((-4y/3)² - (-4y/3)*y + y²) ----- desenvolvendo, temos:

k = (-8y²/3) / (16y²/9 + 4y²/3 + y²) ----- mmc, no denominador, é igual a "9". Assim, utilizando-o só no denominador acima , teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

k = (-8y²/3) / [(1*16y² + 3*4y² + 9*y²)/9] ---- desenvolvendo, temos:

k = (-8y²/3) / [(16y² + 12y² + 9y²)/9] --- reduzindo os termos semelhantes no denominador, iremos ficar assim:

k = (-8y²/3) / [(37y²)/9] ---- veja que temos aqui uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:

k = (-8y²/3)*(9/37y²) ----- efetuando o produto indicado, teremos:

k = -8y²*9 / 3*37y² ----- continuando o desenvolvimento, teremos:

k = -72y² / 111y² ----- simplificando-se numerador e denominador por y² ficaremos apenas com:

k = -72/111 ---- finalmente, simplificando-se numerador e denominador por  "3", iremos ficar apenas com:

k = -24/37 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o resultado a que se chega ao resolver a sua expressão originalmente dada.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.