Question

sabendo que
${3}^{3n}$
é igual a 27, qual o valor de
${3}^{3n}$
?​

Answer 1

Resposta:

n= 1

Explicação passo-a-passo:

27=3.3.3

27=3^3

27=3^3.n

3=3.n

n=1

Answer 2

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⠀⠀☞ Fatorando o 27 e manipulando algebricamente nossa igualdade encontramos que o valor de n é 1. ✅

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➡️⠀Vamos inicialmente fatorar o número 27.

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⚡ " -O que seria fatorar um número?"

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➡️⠀Encontrar o produto de fatores primos que compõe aquele número, dividindo ele por todos os seus divisores primos. No caso do 27 portanto temos:

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$\boxed{\sf\Large\blue{\begin{array}{cc|cl}&&&\sf\underline{~F~}\\&&&\\27&&&3\\&&&\\9&&&3\\&&&\\3&&&3\\&&&\\1&&&\\\end{array}}}$

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$\LARGE\blue{\sf Fat(27) = 3^3}$

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➡️⠀Vamos agora comparar 3³ⁿ e a forma fatorada de 27:

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$\LARGE\blue{\sf 3^{3n} = 3^3}$

⠀

➡️⠀Pela simetria da igualdade podemos intuitivamente concluir que 3n = 3, porém a manipulação algébrica que faremos para demonstrar isto será através da função logarítmica. Tornando ambos os lados da igualdade em logaritmandos de um log de base 10 teremos:

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$\LARGE\blue{\sf \log_{10}(3^{3n}) = \log_{10}(3^3)}$

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➡️⠀Pela regra do tombo temos que:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm log_b(a^c) = c \cdot log_b(a)}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\LARGE\blue{\sf 3n \cdot \log_{10}(3) = 3 \cdot \log_{10}(3)}$

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➡️⠀Dividindo ambos os lados da igualdade por log₁₀(3) teremos:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dfrac{3n \cdot \log_{10}(3)}{\log_{10}(3)} = \dfrac{3 \cdot \log_{10}(3)}{\log_{10}(3)} }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf 3n \cdot \dfrac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(3)} = 3 \cdot \dfrac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(3)} }}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf 3n \cdot 1 = 3 \cdot 1}$

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$\LARGE\blue{\sf 3n = 3}$

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➡️⠀Por fim, dividindo ambos os lados da igualdade por 3 teremos:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{3n}{3} = \dfrac{3}{3}}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf n \cdot \dfrac{3}{3} = \dfrac{3}{3}}$

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$\LARGE\blue{\sf n \cdot 1 = 1}$  

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{n}~\pink{=}~\blue{ 1 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

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