Question

Sabendo que senx = 4/5, x € ao 1° quadrante. Calcule: sen 2x, tg 2x

Answer 1

Oi Beatriz.

Antes de resolver o exercício temos que saber que:

$sen(2x)=2senx*cosx \\ \\ tg(2x)=\frac { 2tgx }{ 1-tg^{ 2 }x }$

Bom, temos que saber também que seno é Oposto/Hipotenusa.
E como ele deu o seno, basta fazer o teorema de pitágoras e achar o adjacente.

$sen(x)=\frac { 4 }{ 5 } \\ \\ adj^{ 2 }+4^{ 2 }=5^{ 2 }\\ adj^{ 2 }=25-16\\ adj=\sqrt { 9 } \\ adj=3$

Agora temos os três lados, e tangente é Oposto/Hipotenusa
Cosseno é Adjacente/Hipotenusa.

$cos(x)=\frac { 3 }{ 5 } \\ \\ tg(x)=\frac { 4 }{ 3 }$

Para achar o seno de 2x basta substituir isso na fórmula e resolver:

$sen(2x)=2senx*cosx\\ sen(2x)=2*\frac { 4 }{ 5 } *\frac { 4 }{ 3 } \\ \\ sen(2x)=\frac { 8 }{ 5 } *\frac { 4 }{ 3 } \rightarrow \frac { 32 }{ 15 }$

Achamos o resultado de sen2x.
Agora vamos calcular a tangente de 2x, substituindo na fórmula.

$tg(2x)=\frac { 2tgx }{ 1-tg^{ 2 }x } \\ \\ tg(2x)=\frac { 2*\frac { 4 }{ 3 } }{ 1-(\frac { 4 }{ 3 } )^{ 2 } } \\ \\ tg(2x)=\frac { \frac { 8 }{ 3 } }{ 1-\frac { 16 }{ 9 } } \\ \\ tg(2x)=\frac { \frac { 8 }{ 3 } }{ \frac { 7 }{ 9 } } \\ \\ tg(2x)=\frac { 8 }{ 3 } *\frac { 9 }{ 7 } \rightarrow \frac { 72 }{ 21 }$