Question

sabendo que sen2a = 4/5, calcule tga + cotga

Answer 1

Vamos desenhar um triângulo retângulo que possua um ângulo "2a" e que tenha como cateto oposto o número 4 e como hipotenusa o número 5. Como o triângulo é pitagórico, o outro cateto mede 3.

Dessa forma:

tg 2a = 4/3

Só que:

tg (a+b) = tga + tgb / (1 - tgatgb)

Substituindo b por a fica:

tg (2a) = tg(a+a) = tga+tga / (1-tgatga)

tg 2a = 2tga / (1-tg²a)

Mas como tg 2a = 4/3 Vamos igualar as expressões:

2tga / (1-tg²a) = 4/3

6tga = 4 - 4tg²a

4tg²a + 6tga - 4 = 0

2tg²a + 3tga - 2 = 0

Vamos resolver essa equação quadrática por Bháskara!

Δ = (3)² - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25

√Δ = √25 = 5

tga = -3 + 5 / 2*2 = 2 / 4 = 1/2

ou

tga = -3 -5 / 2*2 = -8 / 4 = -2

Portanto:

tga = 1/2 ou tga = -2

Agora vamos pensar um pouco.

O arco (2a) apresenta seno positivo. Portanto, 2a é um arco tal que está no primeiro ou no segundo quadrante e, assim, 2a é menor que 180°. Dessa forma, somos levados a crer que o arco "a" está no primeiro quadrante, isto é, é um ângulo agudo. E a tangente de um ângulo agudo é positiva.

Por isso, vamos descartar tga = -2

Ficamos com tga = 1/2

Como cotg x = 1 / tg x ----> cotg a = 2/1 = 2

Logo: tga + cotga = 1/2 + 2 = 1/2 + 4/2 = 5/2 = 2,50