Question

sabendo que sen a = 3/5, sen b = 3/4, pi/2 < a < pi e pi/2 < b < pi, determine o valor de cos (b - a)​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Pela relação fundamental da trigonometria:

$\sf sen^2~a+cos^2~a=1$

$\sf \left(\dfrac{3}{5}\right)^2+cos^2~a=1$

$\sf \dfrac{9}{25}+cos^2~a=1$

$\sf cos^2~a=1-\dfrac{9}{25}$

$\sf cos^2~a=\dfrac{25-9}{25}$

$\sf cos^2~a=\dfrac{16}{25}$

Como esse ângulo pertence ao 2° quadrante, seu cosseno é negativo

$\sf cos~a=-\sqrt{\dfrac{16}{25}}$

$\sf cos~a=\dfrac{-4}{5}$

Pela relação fundamental da trigonometria:

$\sf sen^2~b+cos^2~b=1$

$\sf \left(\dfrac{3}{4}\right)^2+cos^2~b=1$

$\sf \dfrac{9}{16}+cos^2~b=1$

$\sf cos^2~b=1-\dfrac{9}{16}$

$\sf cos^2~b=\dfrac{16-9}{16}$

$\sf cos^2~b=\dfrac{7}{16}$

Como esse ângulo pertence ao 2° quadrante, seu cosseno é negativo

$\sf cos~b=-\sqrt{\dfrac{7}{16}}$

$\sf cos~b=\dfrac{-\sqrt{7}}{4}$

Temos que:

$\sf cos~(b-a)=cos~b\cdot cos~a+sen~b\cdot sen~a$

$\sf cos~(b-a)=\left(\dfrac{-\sqrt{7}}{4}\right)\cdot\left(\dfrac{-4}{5}\right)+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{4}$

$\sf cos~(b-a)=\dfrac{4\sqrt{7}}{20}+\dfrac{9}{20}$

$\sf cos~(b-a)=\dfrac{4\sqrt{7}+9}{20}$