Question

Sabendo que P(x)= ax³ - 2x² + bx - 1 é divisível por x-1 e quando dividido por x-2 dá resto 3, então a.b é:
A)1.
B)2.
C)3.
D)4.
E)5.

Answer 1

Resposta:

Letra B

Explicação passo-a-passo:

Vamos resolver a divisão de $p(x)$ por $x-1$.

$\begin{tabular}{llll|l}\ ax^{3} & -2x^2 & +bx & -1 & x-1 \\\cline{5-5} -ax^3&+ax^2&&&ax^2+(a-2)x+(a-2+b)\\&+(a-2)x^2&+bx&-1&\\&-(a-2)x^2&+(a-2)x&&\\&&+(a-2+b)x&-1&\\&&-(a-2+b)x&+(a-2+b)&\\&&&+(a-3+b)& \end{tabular}$

Nesta primeira divisão o resto é igual a zero.

$a-3+b=0\\a+b=3$

Vamos resolver a divisão de $p(x)$ por $x-2$.

$\begin{tabular}{llll|l}\ ax^{3} & -2x^2 & +bx & -1 & x-2 \\\cline{5-5} -ax^3&+2ax^2&&&ax^2+(2a-2)x+(4a-4+b)\\&+(2a-2)x^2&+bx&-1&\\&-(2a-2)x^2&+(4a-4)x&&\\&&+(4a-4+b)x&-1&\\&&-(4a-4+b)x&+(8a-8+2b)&\\&&&+(8a-9+2b)& \end{tabular}$

Nesta segunda divisão o resto é igual a 3 e simplificar a equação.

$8a-9+2b=3\\8a+2b=12\ (:2)\\4a+b=6$

Agora com estas duas equações do resto podemos montar um sistema linear (método da adição) para encontrar o valor de a e b.

$\left \{ {\Big{a+b=3\ .(-1)} \atop \Big{4a+b=6}} \right.\\\\\left \{ {\Big{-a-b=-3} \atop \Big{4a+b=6}} \right.\\\\3a=3\\\\a=\dfrac{3}{3}\\\\a=1\\\\4a+b=6\\4.1+b=6\\4+b=6\\b=6-4\\b=2$

Finalmente vamos encontrar o produto $a.b$.

$a.b=1.2=2$