Question

Sabendo que P(a,b), A(0,3) e B (1,0) são colineares e P, C(1,2) e D(0,1)também são colineares determine as coordenadas de P.

Answer 1

Se tres pontos são colineares então seu determinate é zero: 

O deterninante que o teorema fala tem esse jeito 

| x1 y1 1 | 
| x2 y2 1 | 
| x3 y3 1 | 

Esses x1, y1, x2,.... etc, são as coordenadas dos pares ordenados. Eu não consegui escreve-los pequenos então ficou meio estranho mas é assim mesmo. Entao vamos la 
Para os pares ordenados P(a,b), A(0,3) e B(1,0) temos: 

| a b 1 | 
| 0 3 1 | 
| 1 0 1 | 

Aplicando Sarrus temos: 

3a + b - 3 = 0 
3a + b = 3 (equação 1) 

Para os pares ordenados P,c(1,2) e D(0,1) temos: 

| a b 1 | 
| 1 2 1 | 
| 0 1 1 | 

Aplicando Sarrus temos: 

2a + 1 - b - a = 0 
a - b + 1 = 0 
a - b = -1 (equaçao 2) 

Juntando as equaçoes 1 e 2 vamos ter um sisteminhas desse jeito: 

3a + b = 3 (equação 1) 
a - b = -1 (equaçao 2) 

Manipulando a (equaçao 2) vamos ter: 

a - b = -1 >> a = b - 1 

Substituindo (a = b - 1) na (equaçao 1) vamos ter: 

3a + b = 3 >>> 3(b - 1) + b = 3 >> 3b - 3 + b = 3 

4b = 6 .:. b = 6/4 

Substituindo b = 6/4 em (a = b - 1) temos 

a = (6/4) - 1 .:. a = 2/4 

Portando P(2/4; 6/4) ou simplificando P(1/2; 3/2) é o que você procura.